Алгебра, 8 класс. Алгебраические выражения

Рациональные числа - это периодические дроби

Как известно, множество рациональных чисел (Q) включает в себя множества целых чисел (Z), которое в свою очередь включает множество натуральных чисел (N). Помимо целых чисел в рациональные числа входят дроби.

Почему же тогда все множество рациональных чисел рассматривают иногда как бесконечные десятичные периодические дроби? Ведь кроме дробей, они включают и целые числа, а также непериодические дроби.

Значение отрицательной степени

Возведение числа в положительную целую степень обозначает, что данное число умножается само на себя столько раз, каково значение показателя степени. Например:
43 = 4 × 4 × 4

Что в таком случае обозначает возведение числа в отрицательную целую степень:
4–3 = ?

Будем исходить из того, что свойства степеней сохраняются и для отрицательных целых показателей. Значит, например, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Возьмем такое выражение:
43 × 4–3

Пример решения рационального уравнения

Уравнение f(x) = 0 называют рациональным, если f(x) является рациональным выражением. При решении рациональных уравнений, содержащих дроби и многочлены, требуется уметь их правильно преобразовывать. Приведя рациональное дробное уравнение к одной дроби, находят корни числителя (приравняв его к нулю), после чего проверяют корни на то, что они не обращают в нуль знаменатель.

Пусть дано такое рациональное уравнение:

Пример рационального уравнения

Методы доказательства тождества

Доказательство тождества представляет собой установления факта равенства его левой и правой частей (при допустимых значениях переменных). Существуют несколько методов доказательства тождества:

  • Преобразуют левую часть так, чтобы получить правую. Или, наоборот, преобразуют правую часть к левой.
  • Преобразуют обе части и получают в обоих случаях одинаковые выражения.
  • Вычитают из левой части правую (или из правой левую). В результате преобразований должен получиться ноль.

Выбор оптимального способа (метода) доказательства зависит от тождества.

Общий знаменатель для алгебраических дробей

При сложении и вычитании алгебраический дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю. Это значит, находят такой один знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в состав данного выражения.

Что такое симметрические многочлены?

Если говорить о симметрическом многочлене от двух переменных, то можно сказать следующее. Если в многочлене поменять местами переменные, то получится тождественное многочлену выражение. Например, многочлены a + b и b + a симметрические, а также xy = yx или x2y + xy2 = y2x + yx2.

Если говорить вообще, то симметрический многочлен — это такой многочлен, который не изменяется при любых перестановках, входящий в него переменных.

Симметрический многочлен можно записать так:

P(x, y) = P(y, x)

Что такое тождественное преобразование?

Тождество — это равенство, которое остается верным при любых допустимых значениях переменных.

Тождественно равные выражения — это такие выражения, которые можно приравнять друг к другу.

Примерами тождеств являются равенства, описывающие законы арифметики:

a + b = b + a, ab = ba и другие.

Другие примеры — формулы сокращенного умножения: квадратов суммы и разности, суммы и разности квадратов и другие.

Тождественным преобразованием называется замена одного выражения на тождественно равное ему другое выражение.

Квадрат суммы нескольких слагаемых

Рассмотрим квадрат трех слагаемых:

(a + b + c)2

Представим его в таком виде:

((a + b) + c)2

Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:

((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

Итак в результате преобразования мы получили:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Как разложить на множители сумму и разность кубов?

Сумма кубов представляет собой такое выражение:

a3 + b3

Можно ли представить эту сумму в качестве каких-либо множителей?

Вспомним формулу куба суммы:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Перенесем слагаемые с коэффициентом 3 в левую часть, получим:

(a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3

Преобразуем левую часть тождества:

Куб суммы и куб разности

Куб суммы двух выражений равен сумме кубов этих выражений, сложенной с утроенным произведением квадрата первого выражения на второе и утроенным произведением квадрата второго выражения на первое.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Здесь (a + b)3 — куб суммы, a3 + b3 — сумма кубов, 3a2b — утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, 3ab2 — утроенное произведение квадрата второго выражения на первое.

Как выделить полный квадрат из трехчлена?

Если мы посмотрим на выражение 0,25x2 + 2xy + y2, то оно похоже на квадрат двучлена, если представить, что 0,25x2 = (0,5x)2, a 2xy = 0,5x * 2y * 2. Однако, если бы у нас был квадрат суммы (0,5x + 2y)2, то должен был бы получиться такой трехчлен:

0,25x2 + 2xy + 4y2.

Он отличается от того, что нам дан на 3y2 в большую сторону. Но мы можем создать такое тождество:

0,25x2 + 2xy + y2 = 0,25x2 + 2xy + 4y2 – 3y2

Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение этих выражений. Формула квадрата суммы записывается так:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Здесь (a + b)2 — квадрат суммы, a2 + b2 — сумма квадратов, 2ab — удвоенное произведение выражений.

Эту формула выводится из умножения многочлена на многочлен:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

Правило умножения суммы на сумму

Допустим, требуется умножить сумму a + b на сумму c + d. Представим сумму c + d как некое число m, тогда получим умножение многочлена на одночлен, которое выполняется по правилу распределительного закона: нужно умножить каждый член многочлена на одночлен, а полученные произведения сложить.

(a + b)m = am + bm

Теперь вернем вместо m сумму c + d:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

Получилась сумма произведений одночлена на многочлен. Выполним умножение:

a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

Как вынести общий множитель за скобки?

В многочленах вынесение общего множителя за скобки может упростить решение уравнения, сократить дробь, привести дроби к общему знаменателю.

Например, дано такое уравнение:

x2 + 9x = 0

Вынесем x за скобку:

x(x + 9) = 0

Ясно, что это уравнение может иметь только два корня x = 0 и x = –9. Только при таких значениях x все левое выражение может быть равно нулю.

Таким образом вынесение общего множителя позволило нам не решать квадратное уравнение.

Как умножить многочлен на одночлен?

Существует распределительное свойство умножения, которое записывается так:

(a + b)c = ac + bc

Словами сформулировать это можно так: чтобы умножить сумму на число, надо умножить на число каждое слагаемое, после чего сложить полученные произведения.

Пусть a + b — это многочлен, а c — одночлен, тогда умножение многочлена на одночлен сводится к тому же правилу распределительного закона: чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на одночлен каждый член многочлена и сложить полученные произведения.

Что такое стандартный вид многочлена?

Многочлен считается приведенным к стандартному виду тогда, когда все составляющие его одночлены приведены к стандартному виду, а также приведены все подобные члены, то есть в многочлене нет подобных членов.

Например, следующий многочлен не приведен к стандартному виду:

4a * ab2 + 8c – a2b3 – 3c

У него первый одночлен не приведен к своему стандартному виду, а также есть подобные. Исправив эти недочеты, получим:

4a2b2 – a2b3 + 5c

Теперь многочлен приведен к стандартному виду.

Правило сложения алгебраических дробей

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатели оставить без изменений:

a/b + c/b = (a+c) / b, где b ≠ 0.

Это можно доказать. Если a/b = p, с/b = q, то a = pb, c = qb.

a + c = pb + qb = b(p+q)
a + c = b(p+q)
(a + c) / b = p + q.

Но p + q в то же время равно a/b + c/b. Значит:

(a + c) / b = a/b + c/b.

Правило умножения алгебраических дробей

При умножении двух дробей получается новая дробь, числитель которой равен произведению числителей данных двух дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Это правило записывают так:

a/b * с/d = ac/bd, где b ≠ 0 и d ≠ 0.

Отсюда следует, что произведение двух дробей можно заменить одной дробью.

Доказать это правило можно следующим образом:

Пусть a/b = p, c/d = q. Избавимся от деления:

a = pb и c = qd

Если перемножить левые и правые части этих выражений, то равенство сохранится:

ac = pbqd или ac = bd * pq

Каково основное свойство алгебраической дроби?

Основное свойство дроби формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменяется.

Данное утверждение можно записать так:

a/b = ac/bc, где b ≠ 0 и с ≠ 0.

Данное свойство является следствием того, что если левую и правую части равенства умножить на одно и то же число, то равенство все равно останется верным. Пусть, например, a/b = k. Избавимся от деления:

a = bk

Теперь умножим обе части на c:

ac = bkc

Выразим k:

k = ac/bc

Что такое наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух одночленов?

Как известно наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это наибольшее общее число, на которое можно нацело разделить оба данных числа. Например, НОД(30; 12) = 6, так как 6 это максимальное число, на которое можно разделить и 12, и 30.

Похоже дело обстоит с одночленами. НОД двух одночленов — это наибольший одночлен, на который можно разделить оба данных одночлена. Однако что значит, наибольший одночлен? Чем из большего числа множителей, которые находятся в как можно большей степени состоит одночлен, тем он больше. Пусть даны два таких одночлена: