Алгебра, 8 класс. Уравнения и неравенства

Методы решения квадратных неравенств

Квадратные неравенства — это неравенства, содержащие квадратный трехчлен ax2 + bx + c, где a ≠ 0.

Решить квадратное неравенство (как и любое другое) — это значит, найти область значений переменной (x), при которых неравенство становится верным.

Квадратное неравенство можно решить графическим методом (методом изображения параболы) и методом интервалов. Хотя метод интервалов также можно считать графическим, если эти интервалы изображаются на прямой.

Правила решения неравенств

При решении числовых неравенств пользуются несколькими правилами, основанными на свойствах неравенств. Решить числовое неравенство с переменной — это значит, найти такие значения переменной (область значений), при которых данное неравенство становится верным. Обычно значения переменных выражаются пределами (множествами чисел, лучами, отрезками), которым они принадлежат.

Правила решения неравенств позволяют привести неравенство к виду, когда область значений становится очевидна. Например, x < b, где знак неравенства и число b могут быть любыми.

Перечислим эти правила.

Пример решения линейных неравенств

Линейные неравенства — это такие неравенства с переменной, которые имеют вид или преобразуются к примерному виду ax < b (или ax + b < 0), где знак неравенства может быть любым, x — переменная, а a и b — действительные числа, при этом a ≠ 0. Основным признаком линейных неравенств является то, что переменная в них представлена в первой степени (а не в квадрате, например).

Доказательство неравенства Коши

Неравенство Коши было доказано французским математиком Огюстом Коши в первой половине XIX века. В сокращенном виде неравенство Коши утверждает, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. В полном варианте в неравенство Коши также включаются среднее гармоническое и среднее квадратическое.

Среднее арифметическое — это сумма заданного количества чисел, деленная на количество чисел:

(x1 + x2 + x3 + … + xn) / n

Оценить число в неравенствах

Для оценки чисел в неравенствах используются различные свойства числовых неравенств. Обычно в таких заданиях даются одно или несколько исходных неравенств, в которых присутствуют переменные. Требуется оценить результат арифметических действий над этими переменными (т. е. получаемые новые числа).

Например, даны два таких исходных двойных неравенства:

  • –1 < p < 10;
  • 2,5 < q < 3,2.

Требуется оценить числа, которые получаются в результате следующих действий над переменными:

Виды неполных квадратных уравнений

Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0.

Неполными квадратными уравнениями являются уравнения трех видов:

  • ax2 + bx = 0, когда коэффициент c = 0.
  • ax2 + c = 0, когда коэффициент b = 0.
  • ax2 = 0, когда и b и с равны 0.

Коэффициент же a по определению квадратного уравнения не может быть равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются проще, чем полные квадратные. Способы решения различаются в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

Решение уравнений с переменной в знаменателе

Существуют несколько путей (способов) решения уравнений с переменной в знаменателе дроби.