Алгебра, 8 класс. Натуральные числа

Свойства простых чисел

Существуют различные свойства простых чисел. Часть из них доказана, другая – нет, какие-то существуют в статусе предположений. Среди основных доказанных свойств можно выделить следующие.

  • Множество простых чисел бесконечно (т. е. среди простых чисел нет наибольшего).

Доказательство этого свойства можно посмотреть здесь.

Докажите, что множество простых чисел бесконечно

Одним из свойств простых чисел является утверждение, что множество простых чисел бесконечно (т. е. среди простых чисел нет наибольшего).

Что такое каноническое разложение числа и где оно используется?

Каноническим разложением натурального числа на простые множители называют такое его разложение, когда множители записываются в порядке возрастания. Например:
50 = 2 × 5 × 5
124 = 2 × 2 × 31
280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7

Обычно каноническое разложение записывают с использованием степеней:
50 = 2 × 52
124 = 22 × 31
280 = 23 × 5 × 7

Сформулируйте и докажите основной закон арифметики натуральных чисел

Основной закон арифметики натуральных чисел состоит из двух частей и формулируется примерно так:

Часть 1. Любое натуральное число, кроме 1, можно представить в виде произведения простых чисел.
Часть 2. Причем данное число всегда будет раскладываться на один и тот же набор простых чисел; может различаться лишь их порядок.

Сформулируйте признаки делимости натуральных чисел

В ряде случаев можно узнать делится ли одно число на другое (кратно ли одно другому), не выполняя процедуру деления. Признак числа a, «говорящий», что оно делится на число b, называется признаком делимости на число b. Алгоритмы нахождения признаков делимости на разные числа разные, но отчасти похожи.

Сформулируем признаки делимости на такие числа как 2, 3, 5, 9.

Какие числа взаимно простые? Каковы свойства взаимно простых чисел?

Натуральные числа a и b называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1 (НОД(a; b) = 1). Другими словами, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.

Примеры пар взаимно простых чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 и т. п. Можно указать несколько взаимно простых чисел, например, числа 7, 9, 16 – взаимно просты.

Алгоритм Евклида нахождения НОД

Алгоритм Евклида — это способ нахождения наибольшего общего делителя для двух чисел.

Примем во внимание факт, что если одно натуральное число из пары нацело делит другое, то их НОД будет равен меньшему из них. Записать это можно так: если a / b (нацело), то НОД(a; b) = b.

Примем во внимание второй факт. Если одно число больше другого, то их наибольший общий делитель равен наибольшему общему делителю для меньшего числа из пары, и разницы большего и меньшего. Записывается это так: если a < b, то НОД(a; b) = НОД(a; b – a).

Что такое наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное?

Если натуральное число a нацело делится на натуральное число b, то говорят, что

  • a кратно b,
  • b является делителем a.

Если натуральное число c является делителем для чисел a и b, то говорят, что число c общий делитель a и b.

Какие свойства у натуральных чисел?

В конце XIX века итальянским математиком Д. Пеано были сформулированы свойства следования натуральных чисел: