Алгебра, 8 класс. Числовые функции

Формула вершины параболы

Обычно формулу координаты x вершины параболы используют, когда имеют дело с квадратичной функцией.

Квадратичная функция имеет вид: y = ax2 + bx + c.

Ее график — это парабола с вершиной, координаты которой определяются по формулам:

Формулы вершины параболы квадратичной функции

Сдвиги графиков функций

Нам известны такие функции и их графики как

  • y = kx (прямая),
  • y = kx2 (парабола),
  • y = k√x («половинка» параболы),
  • y = k/x (гипербола).

Изменение значения k влияет на вид графика (степень крутизны в случае параболы), расположение ветвей в координатных четвертях и др. Однако точкой, через которую можно провести ось симметрии графиков, является точка O с координатами (0; 0).

Как зависит парабола от коэффициента

Графиком функции y = x2 является парабола. Данная функция является функцией вида y = kx2, в которой k = 1. Однако какими будут графики функций такого вида при других значениях k?

Графически решить уравнение с корнем

Допустим дано такое уравнение:
√x – 0.5x = 0

Требуется решить его графическим способом.

Графический метод решения уравнений заключается в приравнивании двух выражений (частей уравнения), рисования графиков этих выражений-функций на координатной плоскости, нахождения точек пересечения графиков двух функций.

В данном случае преобразуем уравнение к такому виду:
√x = 0.5x

Получаются две функции, чьи графики следует изобразить на координатной плоскости:
f(x) = √x
g(x) = 0.5x

Функция выпукла вниз или вверх

Если взять две такие функции как 1) y = √x и 2) y = x2 при x ≥ 0, то описание их свойств совпадет, несмотря на то, что их графики отличаются. Вот их графики:

Графики функций y = √x и y = x^2

Обе функции имеют одну и ту же область определения [0; +∞], обе возрастающие (с увеличением x увеличивается и y), непрерывные и др.

Если не видеть графики этих функций, то получается, что они одинаковы. Однако это не так. Поэтому математики ввели дополнительную характеристику функций — их выпуклость.

Как построить график кусочной функции

Кусочные функции — это функции, заданные разными формулами на разных числовых промежутках. Например,

Пример кусочной функции

Какой график у обратной пропорциональности?

Графиком функции обратной пропорциональности вида y = k/x является гипербола. Что же она из себя представляет?

Пусть у нас будет функция y = 1/x. Посмотрим, как меняется значение y при изменении x:

x = -1000, y = -1/1000
x = -1, y = -1
x = -0,001, y = -1000
x = 0,001, y = 1000
x = 1, y = 1
x = 1000, y = 1/1000

Чем больше абсолютное значение x, тем меньше абсолютное значение y. Но при этом y никогда не станет равен 0, так как x не может быть равен нулю.

Что такое функция обратно пропорциональной зависимости?

Существует множество примеров, в которых есть некая постоянная, являющаяся произведением двух других переменных величин.

Например, у вас есть неизменная сумма денег, на которую нужно купить тетрадей. Тетради могут быть по разной цене, и поэтому в имеющуюся сумму их можно купить разное количество. Если например у вас 100 руб, а тетради стоят 20 руб, то вы купите 5 штук, а если 10 руб., то 10 штук. В любом случае произведение будет равняться 100 — это постоянная величина, а количество и цена в данном случае — переменные.