Алгебра, 8 класс. Действительные числа

Погрешность приближения

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.

Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.

Приближение по недостатку и по избытку

Проводя различные измерения, решая уравнения графическим способом, выполняя арифметические вычисления, часто получают приближенные значения, а не точные. Например, при вычислении корня числа может получиться бесконечная непериодическая дробь (т. е. иррациональное число). Кроме того, существуют бесконечные периодические дроби, использовать которые в вычислениях также неудобно.

Поэтому числа, являющиеся бесконечными десятичными дробями или конечными, но имеющими множество знаков после запятой, принято округлять.

Найти модуль с корнем

Как известно, модуль числа — это его абсолютное значение, без учета знака. Модуль всегда неотрицателен. Это значит, что он может быть равен либо положительному числу, либо нулю.

Таким образом, если дается положительное число или ноль, то их модуль будет равен им самим. А вот для отрицательного числа, его модуль будет иметь противоположное значение, т. е. являться противоположным числом. Так

|–3| = 3,
|–1,345| = 1,345.

Как сравнивать действительные числа

Действительные числа (R) включают в себя все рациональные и иррациональные числа. По-другому, действительные числа называются вещественными числами.

При сравнении действительных чисел можно руководствоваться таким правилом:

Если разность чисел a и b, где a — уменьшаемое, а b — вычитаемое, дает положительное число, то это значит, что a > b. Если же в результате получается отрицательное число, то a < b.

Например, сравним числа –5 и –7. Вычтем из первого второе:
–5 – (–7) = –5 + 7 = 2

Что значит иррациональное число?

Все рациональные числа можно представить в виде обыкновенной дроби. Это касается и целых чисел (например, 12, –6, 0), и конечных десятичных дробей (например, 0,5; –3,8921) , и бесконечных периодических десятичных дробей (например, 0,11(23); –3,(87)).

Уравнение прямой, проходящей через заданные точки

Если даны конкретные точки, например, A(4; 10) и B(1; 2), то уравнение можно найти, решая систему уравнений.

Если A и B имеют различные первые координаты (абсциссы), то прямая, на которой лежат эти точки, не параллельна оси ординат и описывается уравнением y = kx + b. Далее составляют систему уравнений и решают ее. Например:

| 10 = 4k + b,
| 2 = k + b.

b = 2 – k
10 = 4k + 2 – k
8 = 3k
k = 8/3

b = 2 – 8/3 = –2/3

Перевод периодических дробей в обыкновенные

Пусть x – это искомая обыкновенная дробь для периодической десятичной дроби 0,(83), т. е.

x = 0,(83) или
x = 0,83(83)

Длина периода дроби равна двум. Умножим обе части уравнения на 100, чтобы период дроби был представлен и целым числом также:

100x = 83,(83) или
100x = 83 + 0,(83)

Поскольку x = 0,(83), то можно записать

100x = 83 + x

Решим данное уравнение:

100x – x = 83
99x = 83
x = 83/99

Доказательства свойств модуля

Существуют следующие свойства модуля действительных чисел:

1) |a + b| ≤ |a| + |b|;

2) |ab| = |a| × |b|;

3) , a ≠ 0;

4) |a – b| ≥ |a| – |b|.

Проведем доказательства, рассматривая различные случаи значений a и b.

Доказательство 1) |a + b| ≤ |a| + |b|:

Что такое длина периода дроби?

Рассмотрим обыкновенные дроби 2/3, 11/13 и 3/101. Если попытаться получить из них десятичные дроби, то мы не получим однозначного числа, можно получить лишь приближение. Получаются бесконечные десятичные дроби: 0.666..., 0.846153846153..., 0.02970297....

Можно заметить, что у этих чисел повторяются последние цифры или группы цифр. Так у первой дроби – это 6, у второй — группа цифр 846153, а у третьей – группа 0297. Поэтому такие дроби называются периодическими и записываются так: 0.(6), 0.(846153), 0.(0297).

Доказать, что нет рационального числа, квадрат которого равен 2

Доказательство ведут от противного.

Предположим, что существует какое-либо дробное число, при возведении которого в квадрат можно получить два: (p/q)2 = 2. При этом эта дробь несократима (т. е. все сокращения уже выполнены).

Запишем уравнение так: p2 / q2 = 2.

Умножим обе части уравнений на q2, получим: p2 = 2q2.