Алгебра, 8 класс. Множества и комбинаторика

Что такое счетные множества?

Счетными являются бесконечные множества, которые эквивалентны множеству натуральных чисел. Эквивалентность означает равную мощность множеств, что можно сравнить с одинаковым количеством элементов, однако в бесконечных множествах количество элементов бесконечно.

Если множество счетно, то каждому его элементу можно поставить в соответствие натуральное число. Каждому элементу можно сопоставить только одно натуральное число, и у каждого натурального числа может быть только один сопоставленный ему элемент. То есть устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Что такое ограниченные множества?

В конечных множествах всегда есть наибольший и наименьший элемент. В бесконечных множествах такое тоже может быть, однако в бесконечных множествах может и не быть наибольшего и наименьшего элемента или какого-то одного из них.

Множество всех действительных чисел не ограничено ни с какой стороны, оно не имеет ни наименьшего, ни наибольшего. Множество действительных чисел от 0 до 1, ограничено, но также бесконечно, так как количество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 бесконечно.

Что такое замкнутое множество?

Понятия «замкнутое множество» и «незамкнутое множество» обычно используют относительно множеств чисел и операций над ними.

Если над двумя элементами одного множества выполняется какая-либо арифметическая операция, и полученный результат также принадлежит этому множеству, то говорится, что это множество замкнуто относительно данной операции.

Если же результат арифметической операции над элементами множества не принадлежит этому множеству, то говорят, что данное множество незамкнуто относительно данной операции.

Определение числовых множеств

Действительные числа (или вещественные числа) — это самое «широкое» множество чисел в математике. Все остальные числовые множества являются его подмножествами. Действительные числа обозначаются буквой R. Выделяют следующие числовые множества:

Свойства элементов множества

Объекты (например, числа), входящие в определенное множество, являются элементами этого множества. Например, числа 10 и 14 являются элементами множества натуральных чисел. Классы являются элементами множества всех классов школы. А вот, например, число –5 не является элементом множества натуральных чисел. Также как класс из соседней школы, не будет элементом множества классов вашей школы.

Что такое эквивалентные множества?

Если множества конечные, то сравнить их по количеству элементов просто, достаточно посчитать элементы в каждом множестве и сравнить полученные значения.

Что такое отношение порядка?

Бывают множества, в которых существует тот или иной порядок следования элементов. Например, множество натуральных чисел может быть упорядочено по возрастанию. Это значит, что меньший элемент стоит перед большим (a < b).

Если во множестве существует какое-либо правило, в результате действия которого элементы располагаются не произвольно, а по-порядку, то говорят, что во множестве существует отношение порядка.

Что такое декартово произведение множеств?

Если каждому элементу из множества A сопоставлен в соответствие определенный элемент из множества B, то возникает множество, составленное из пар элементов множеств A и B, - декартово произведение множеств.

Записывают декартово произведение множеств так:

A × B = {(a; b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Это значит, что если например дано множество A = {1,2,3} и множество B = {15,25}, то их декартово произведение будет состоять из пар:

A × B = {(1;15), (1;25), (2;15), (2;25), (3;15), (3;25)}

Что такое пересечение, объединение и разность множеств?

Пересечением двух множеств, называется третье множество, сформированное из элементов, которые входят в оба первых множества.

Например, если в одно множество входят числа от 1 до 10, а во второе — от 5 до 20, то пересечением этих множеств будут числа от 5 до 10, так как они входят в оба.

Пересечение множеств записывается так:

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}

На диаграмме Эйлера-Венна пересечение множеств обозначается общей частью кругов.

Множества могут не пересекаться вообще, одно может полностью включать другое.

Что такое подмножество?

Во многих множествах можно выделить более мелкие группы элементов, объединенные своим общим свойством. Например, во множестве натуральных чисел можно выделить подмножество четных чисел, а также подмножество нечетных чисел, или подмножество чисел не больше 100 и т. п.

В терминологии теории множеств говорят, что множество B является подмножеством множества A, если каждый элемент B является в то же время и элементом множества A. Обозначается это знаком включения: B ⊂ A.

Что такое характеристическое свойство множества?

Множества бывают конечными и бесконечными. Например, множество всех школ города конечно, а множество вещественных чисел бесконечно.

Конечные множества можно задать перечислением элементов. Например, множество учеников класса записать в журнале. С бесконечными множествами так сделать уже нельзя.

Что такое множество?

Совокупность предметов, понятий, каких-либо объектов, объединенных чем-то общим, в математике называют словом множество.

Примеры множеств: ученики класса, все люди на Земле, множество натуральных чисел, множество точек, лежащих в первой четверти координатной плоскости, множество кругов с радиусом от 1 до 10 см. Конкретное множество можно представить как единое целое.