Свойства степеней с одинаковыми показателями

Если умножаются (или делятся) две степени, у которых разные основания, но одинаковые показатели, то их основания можно перемножить (или поделить), а показатель степени у результата оставить таким же как у множителей (или делимого и делителя).

В общем виде на математическом языке эти правила записываются так:
am × bm = (ab)m
am ÷ bm = (a/b)m

При делении b не может быть равно 0, то есть второе правило надо дополнить условием b ≠ 0.

Примеры:
23 × 33 = (2 × 3)3 = 63 = 36 × 6 = 180 + 36 = 216
65 ÷ 35 = (6 ÷ 3)5 = 25 = 32

Теперь на этих конкретных примерах докажем, что правила-свойства степеней с одинаковыми показателями верны. Решим данные примеры так, как будто мы не знаем о свойствах степеней:
23 × 33 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) =Сокращение дроби= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Как мы видим, ответы совпали с теми, которые были получены, когда использовались правила. Знание этих правил позволяет упростить вычисления.

Обратите внимание, что выражение 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 можно представить в таком виде:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Это выражение в свою очередь есть нечто иное как (2 × 3)3, то есть 63.

Рассмотренные свойства степеней с одинаковыми показателями могут быть использованы в обратную сторону. Например, сколько будет 182?
182 = (3 × 3 × 2)2 = 32 × 32 × 22 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Свойства степеней также используются при решении примеров:
Дробь со степенями= 24 × 36 = 24 × 34 × 3 × 3 = 64 × 32 = 62 × 62 × 32 = (6 × 6 × 3)2 = 1082 = 108 × 108 = 108 (100 + 8) = 10800 + 864 = 11664