Что такое числовое и алгебраическое выражение?

Числовое выражение — это любая запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий и записанная по известным правилам, вследствие чего имеющая определенный смысл. Например, числовыми выражениями являются такие записи: 4 + 5; -1,05 × 22,5 - 34. С другой стороны, запись × 16 - × 0,5 не является числовой, так как, хотя и состоит из чисел и знаков арифметических операций, записана не по правилам составления числовых выражений.

Если в числовом выражении встречаются буквы вместо чисел (всех или только некоторых), то это выражение является уже алгебраическим.

Смысл использования букв заключается примерно в следующем. Вместо букв могут быть подставлены разные числа, а значит выражение может иметь различные значения. Алгебра как наука изучает принципы упрощения выражений, поиска и использования различных правил, законов, формул. Алгебра изучает наиболее рациональные способы выполнения вычислений, а как раз для этого нужны обобщения, то есть использование переменных (букв) вместо конкретных чисел.

К алгебраическим фактам можно отнести законы сложения и умножения, понятия отрицательного числа, обыкновенной и десятичной дробей и правила арифметических операций с ними, свойства обыкновенных дробей. Алгебра призвана разобраться во всем этом многообразии фактов, научить их использовать, видеть применимость законов в конкретных числовых и алгебраических выражениях.

Когда числовое выражение вычисляется, то в результате получается его значение. Значение же алгебраического выражение может быть вычислено только, если вместо букв будут подставлены определенные числовые значения. Например, выражение a ÷ b при a = 3 и b = 5 имеет значение 3 ÷ 5 или 0,6. Однако алгебраическое выражение может быть таким, что при некоторых значениях переменных (букв) может вовсе не иметь смыла. Для того же примера (a ÷ b) выражение не имеет смысла при b = 0, так как на ноль делить нельзя.

Поэтому говорят о допустимых и недопустимых значениях переменных для того или иного алгебраического выражения.