Для чего буквы в алгебре?

В отличие от арифметики в алгебре вместо чисел в выражениях часто используют буквы. Обычно это латинские (или английские) строчные (то есть маленькие) буквы. Смысл использования букв вместо конкретных чисел в основном в следующем:

  • Во-первых, использование букв позволяет обобщить какое-либо выражение, закон, формулу на множество различных значений (чисел). В таком случае буквы обычно называют коэффициентами и часто в алгебре обозначают буквами a, b, c.
  • Во-вторых, буквами обозначают какое-либо неизвестное число (значение), которое требуется вычислить или подставить в выражение, чтобы найти другое неизвестное. Такие буквы называются переменными. В алгебре их обычно обозначают буквами x и y.

Рассмотрим сказанное на конкретных примерах.

Существуют различные законы арифметики. Например, переместительный закон умножения, который формулируется так: от перемены мест множителей произведение не меняется. Мы можем продемонстрировать его применимость на различных примерах:
5 × 6 = 6 × 5; 100 × 1,95 = 1,95 × 100

Однако как записать этот закон так, чтобы одно выражение обобщало в себе все конкретные примеры, чтобы при одном взгляде на выражение, сразу было понятно, о чем идет речь? Математики нашли вполне естественный выход, - они стали использовать буквы, понимая под этим, что вместо буквы может стоять любое (или лежащее в определенном диапазоне) число. Тогда переместительный закон умножения можно записать так:
a × b = b × a

И неважно, чему равно a и чему равно b, закон все-равно будет соблюдаться. Мы записали его общую формулу.

Можно найти общую формулу для решения однотипных задач. Например, известно, что ежедневно в магазин привозят груш всегда на 10 килограмм меньше чем яблок. А яблок привозят по-разному: могут 100 кг, а могут 30. Если обозначить количество килограмм яблок как x, то количество груш можно найти по формуле:
y = x – 10.

Это пример зависимости значения одной переменной (y) от другой (x). x здесь называется аргументом, а y — значением. По условию задачи x может быть любым неотрицательным числом, не превышающим определенного порога. Ведь невозможно привести в магазин миллион килограмм яблок. А вот y всегда зависит от x, хоть и не равен ему. Когда буквы используют в таком контексте, то говорят о функциях.

Однако нам известен другой тип задач с буквой x (или другими буквами), где x — это неизвестное, которое требуется найти. Например:
150 ÷ x = 5

Здесь x не может принимать любые значения, он однозначно определяется законами арифметики:
x = 150 ÷ 5 = 30

В данном случае x — это не переменная, а неизвестное, которое требуется найти.

Из сказанного можно сделать вывод, что буквы в алгебре необходимы, так как позволяют упростить, сделать более ясным и обобщенным язык математики.