Решение задач с помощью системы линейных уравнений

Ряд задач можно решить, составив систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пример задачи.

В отделе работают программисты и дизайнеры. Вчера на работу не пришли 4 программиста, и 1 дизайнер. При этом оказалось, что программистов на 2 человека меньше, чем дизайнеров. Сегодня не пришел 1 программист и 5 дизайнеров. При этом оказалось, что программистов в 2 раза больше, чем дизайнеров. Сколько всего сотрудников числится в отделе.

Решение задачи.

Пусть x – это общее количество программистов, y – дизайнеров. В первый день на работе было x – 4 программиста и y – 1 дизайнеров. Поскольку первых оказалось на 2 человека меньше, то чтобы уравнять количество программистов и дизайнеров, надо из количества дизайнеров вычесть два. В итоге получаем такое уравнение: x – 4 = y – 1 – 2.

Во второй день программистов x – 1, а дизайнеров y – 5. Поскольку программистов оказалось в 2 раза больше, то чтобы уравнять количества специалистов, надо либо разделить на 2 программистов, либо умножить на 2 дизайнеров. Второе сделать проще, в итоге получаем уравнение: x – 1 = 2 (y – 5).

Таким образом приходим к системе двух линейных уравнений с двумя переменными:
| x – 4 = y – 1 – 2
| x – 1 = 2 (y – 5)

Преобразуем уравнения:
| x – y – 1 = 0
| x – 2y + 9 = 0

Решим систему методом алгебраического сложения. В данном случае уместно использовать вычитание):
(x – y – 1) – (x – 2y + 9) = 0
x – y – 1 – x + 2y – 9 = 0
y = 10

Находим x:
x – 10 – 1 = 0
x = 11

Всего в отделе числятся x + y сотрудников, то есть 10 + 11 = 21 человек.