Что такое система линейных уравнений с двумя переменными?

Линейное уравнение с двумя переменными имеет общий вид ax + by + c = 0. В нем a, b и с – это коэффициенты – какие-то числа; а x и y – переменные – неизвестные числа, которые надо найти.

Решением линейного уравнения с двумя переменными является пара чисел x и y, при которых ax + by + c = 0 – верное равенство.

У конкретного линейного уравнения с двумя переменными (например, 3x + 2y – 1 = 0) имеется множество решений, то есть множество пар чисел, при которых уравнение верно. Линейное уравнение с двумя переменными преобразовывается в линейную функцию вида y = kx + m, которая представляет собой прямую на координатной плоскости. Координаты всех точек, лежащих на этой прямой, являются решениями линейного уравнения с двумя переменными.

Если даны два линейных уравнения вида ax + by + c = 0 и требуется найти такие значения x и y, при которых оба они будут иметь решения, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему уравнений пишут под общей фигурной скобкой. Пример:
Запись системы двух линейных уравнений с двумя переменными

У системы уравнений может быть ни одного решения, если прямые, являющиеся графиками соответствующих линейных функций, не пересекаются (то есть параллельны друг другу). Чтобы сделать вывод об отсутствии решение, достаточно преобразовать оба линейных уравнения с двумя переменными к виду y = kx + m. Если в обоих уравнениях k – одно и то же число, то система не имеет решений.

Если система уравнений оказывается состоящей из двух одинаковых уравнений (что может быть очевидно не сразу, а после преобразований), то она имеет бесконечное множество решений. В данном случае говорят о неопределенности.

Во всех остальных случаях система имеет одно решение. Этот вывод можно сделать из того, что две любые непараллельные прямые могут пересечься лишь в одной точке. Именно эта точка пересечения будет лежать и первой прямой и второй, то есть являться решением и первого уравнения и второго. Следовательно являться решением системы уравнений. Однако следует оговорить ситуации, когда на значения x и y накладываются те или иные ограничения (обычно по условию задачи). Например x > 0, y > 0. В таком случае даже если система уравнений будет иметь решение, но оно не будет удовлетворять условию, то делается вывод, что система уравнений не имеет решений при заданных условиях.

Решить систему уравнений можно тремя способами:

  1. Методом подбора. Чаще всего это очень сложно сделать.
  2. Графическим методом. Когда чертятся на координатной плоскости две прямые (графики функций соответствующих уравнений) и находится их точка пересечения. Данный метод может дает не точные результаты, если координаты точки пересечения – дробные числа.
  3. Алгебраическими методами. Они являются универсальными и надежными.