Найти модуль с корнем

Как известно, модуль числа — это его абсолютное значение, без учета знака. Модуль всегда неотрицателен. Это значит, что он может быть равен либо положительному числу, либо нулю.

Таким образом, если дается положительное число или ноль, то их модуль будет равен им самим. А вот для отрицательного числа, его модуль будет иметь противоположное значение, т. е. являться противоположным числом. Так

|–3| = 3,
|–1,345| = 1,345.

Если представить числовую прямую (координатную прямую), то можно сказать, что на том расстоянии, на котором от нуля находится отрицательное число в одну сторону, на том же расстоянии от нуля находится его модуль, но в другую сторону.

Однако как найти модуль числового выражения, если его вычислить проблематично. Например, в выражениях с корнями когда получаются иррациональные числа. Пусть требуется найти модуль √2 – 2. Понятно, что здесь получится отрицательное число, т. к. 2 определенно больше √2. Следовательно, модулем этого выражения будет противоположное число. Но каково оно?

Чтобы получить противоположное число, надо умножить его на –1. Обычно просто приписывают к нему знак минуса. Если число отрицательное, то минус на минус дает плюс, и в результате получается положительное. Например, для –5 противоположное –(–5) = 5. Поэтому, когда берется модуль отрицательного числа, то можно не просто писать |–1,2| = |1,2|, а расписывать действие подробно:

|–1,2| = –(–1,2) = 1,2

Сделаем то же самое по отношению к выражению √2 – 2, коли мы уже знаем, что это отрицательное число:

|√2 – 2| = –(√2 – 2) = –√2 + 2 = 2 – √2

Таким образом, при вычислении модуля выражения с корнем следует придерживаться следующего алгоритма:

  1. Определить, является ли число положительным или отрицательным.
  2. Если число положительное или 0, то его модуль будет равен ему самому.
  3. Если число отрицательное, то умножить его на –1, после чего преобразовать выражение к удобному виду.

Теперь обратим внимание на следующее. Выше было сказано, что модуль отрицательного числа отстоит от точки отсчета (нуля) на таком же расстоянии (но в другую сторону), как и само это число. Однако в примере с корнем мы видим, что само выражение и его модуль не выглядят такими уж идентичными по абсолютному значению. Трудно сказать, действительно ли √2 – 2 отстоит от нуля на таком же расстоянии как 2 – √2.

Однако это так. Если записать отрицательное число с корнем как –2 + √2, то понятно, что мы получаем число, которое больше –2, т. е. находится от –2 ближе к нулю на √2. Модуль же числа равен 2 – √2. Это число, которое меньше 2 на √2. То есть тоже находится от 2 ближе к нулю на √2.