Доказательство неравенства Коши

Неравенство Коши было доказано французским математиком Огюстом Коши в первой половине XIX века. В сокращенном виде неравенство Коши утверждает, что среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. В полном варианте в неравенство Коши также включаются среднее гармоническое и среднее квадратическое.

Среднее арифметическое — это сумма заданного количества чисел, деленная на количество чисел:

(x1 + x2 + x3 + … + xn) / n

Среднее геометрическое находится как извлечение корня в степени количества чисел, где подкоренное выражение — это произведение этих чисел:

n√( x1 * x2 * x3 * … * xn)

Таким образом, неравенство Коши утверждает, что

(x1 + x2 + x3 + … + xn) / n ≥ n√( x1 * x2 * x3 * … * xn)

Для его доказательства упростим выражения, представив, что находим среднее арифметическое и среднее геометрическое только двух чисел: a и b. Доказательство неравенства для двух положительных чисел будет верно и для множества положительных чисел.

(a + b) / 2 ≥ √ab

В данном случае извлекается квадратный корень, так как находится среднее геометрическое только двух чисел.

Из свойств числовых неравенств известно, что если k – m в результате дает положительное число, то k > m; если числа одинаковы, то k = m. Значит, если доказать, что разность среднего арифметического и среднего геометрического есть положительное число (или равное нулю), то значит, будет доказано и само неравенство Коши.

Вычтем из среднего арифметического двух положительных чисел их среднее геометрическое:

(a + b) / 2 – √ab

Приведем к общему знаменателю:

(a + b) / 2 – 2√ab / 2
(a + b – 2√ab) / 2

Многочлен a + b – 2√ab — это квадрат разности (√a – √b)2. Получаем:

(√a – √b)2 / 2

Квадрат любого числа есть число положительное или равное нулю (если a = b). Значит, в числителе будет неотрицательное значение. Знаменатель дроби также положителен. Значит, при вычитании из среднего арифметического среднего геометрического получилось неотрицательное значение. Таким образом, (a + b) / 2 ≥ √ab, что и требовалось доказать.