Что такое замкнутое множество?

Понятия «замкнутое множество» и «незамкнутое множество» обычно используют относительно множеств чисел и операций над ними.

Если над двумя элементами одного множества выполняется какая-либо арифметическая операция, и полученный результат также принадлежит этому множеству, то говорится, что это множество замкнуто относительно данной операции.

Если же результат арифметической операции над элементами множества не принадлежит этому множеству, то говорят, что данное множество незамкнуто относительно данной операции.

Множество натуральных чисел (N) замкнуто относительно операций сложения и умножения, так как какие бы мы не взяли натуральные числа, перемножив их или сложив, всегда получим натуральное число. Однако множество натуральных чисел не замкнуто относительно операций вычитания и деления. Например, если вычесть из меньшего числа большее, то получится отрицательное число, которое не принадлежит N. При делении может быть получено дробное число, которое также не принадлежит N.

Если же говорить о множестве целых чисел (Z), то оно будет замкнуто уже относительно операций сложения, умножения и вычитания.

Натуральные и целые числа замкнуты также относительно возведения в натуральную степень.

Множество действительных чисел (R) замкнуто относительно всех операций.

В случае конкретных числовых промежутков множество может оказаться не замкнутым по отношению ко всем операциям.