Что такое счетные множества?

Счетными являются бесконечные множества, которые эквивалентны множеству натуральных чисел. Эквивалентность означает равную мощность множеств, что можно сравнить с одинаковым количеством элементов, однако в бесконечных множествах количество элементов бесконечно.

Если множество счетно, то каждому его элементу можно поставить в соответствие натуральное число. Каждому элементу можно сопоставить только одно натуральное число, и у каждого натурального числа может быть только один сопоставленный ему элемент. То есть устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Можно считать сопоставленные натуральные числа номерами элементов множества. Таким образом получается, что у каждого элемента есть свой номер. Поэтому свойством счетного множества является возможность перенумеровать его элементы.

Очевидный пример счетного множества — это множество натуральных чисел, где каждый элемент можно сопоставить самому себе.

Счетным множеством является множество четных чисел, так как каждому из них можно поставить в соответствие свой номер. Даже если множество включает также отрицательные числа, можно придумать такую нумерацию, что никакой элемент не будет упущен. Например, элементу 0 поставить в соответствие натуральное число 1. Элементу 2 — число 2, элементу –2 — число 3, элементу 4 — число 4, элементу –4 — число 5, элементу 6 — число 6 и т. д. То есть считать элементы, «разбрасывая» натуральные числа туда сюда от нуля.

Понятно, что счетными будут множества и нечетных чисел, кратных любому числу. И это выглядит странно, так как вроде бы понятно, что чисел кратных, например 10, меньше, чем натуральных чисел, но оба множества счетны и бесконечны, а поэтому имеют равную мощность. Мы можем бесконечно пересчитывать числа, кратные 10:
10 (1), 20 (2), 30 (3), … 100 (10), 1000 (100), 1010 (101), …