Что такое ограниченные множества?

В конечных множествах всегда есть наибольший и наименьший элемент. В бесконечных множествах такое тоже может быть, однако в бесконечных множествах может и не быть наибольшего и наименьшего элемента или какого-то одного из них.

Множество всех действительных чисел не ограничено ни с какой стороны, оно не имеет ни наименьшего, ни наибольшего. Множество действительных чисел от 0 до 1, ограничено, но также бесконечно, так как количество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 бесконечно.

Множество натуральных чисел бесконечно, но ограничено наименьшим элементом — единицей. Оно не имеет наибольшего элемента, так как для каждого натурального числа n найдется n + 1.

Множество натуральных чисел от 1 до 100 включительно ограничено наибольшим и наименьшим элементом, а также конечно. Оно включает 100 элементов — это целые числа 1, 2, 3, 4, …, 100.

Важно понять, что такие характеристики множеств как ограниченность и конечность, – это разные характеристики. Множество может быть бесконечным, но ограниченным. Однако конечные множества ограничены всегда.

О множестве, которое ограничено наименьшим элементом, говорят, что оно ограничено снизу. О том, которое ограничено наибольшим элементом, говорят, что оно ограничено сверху. Если множество ограничено с обоих концов, то о нем просто говорят, что оно ограничено.