Что такое наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух одночленов?

Как известно наибольший общий делитель (НОД) двух чисел — это наибольшее общее число, на которое можно нацело разделить оба данных числа. Например, НОД(30; 12) = 6, так как 6 это максимальное число, на которое можно разделить и 12, и 30.

Похоже дело обстоит с одночленами. НОД двух одночленов — это наибольший одночлен, на который можно разделить оба данных одночлена. Однако что значит, наибольший одночлен? Чем из большего числа множителей, которые находятся в как можно большей степени состоит одночлен, тем он больше. Пусть даны два таких одночлена:

10a3b4c2 и 18b2c3d3.

Их НОДом будет такой одночлен:

b2c2.

На этот одночлен можно разделить оба данных одночлена. Если взять b или c в больших степенях или добавить еще какую-нибудь переменную, то на полученный одночлен уже нельзя будет разделить первый или второй из данных одночленов.

НОД одночленов определяется без учета коэффициентов. Поэтому то, что 10 и 18 делятся нацело на 2, нас не волнует. При работе с одночленами исходят из того, что числа в принципе делятся, не обязательно нацело. Таким образом можно было записать, что НОД равен 2b2c2 или 10b2c2 и т. д.

Алгоритм определения НОД можно свести к следующему:

  1. Найти общие переменные, которые входят в оба одночлена и выписать их.
  2. Проставить к ним наименьшие степени, в которых они встречаются в одном из двух одночленов.

Вспомним, что наименьшим общим кратным (НОК) двух чисел является наименьшее число, на которое нацело делится и первое и второе из данных.

По отношению к одночленам определить НОК можно так: НОК двух одночленов — это наименьший одночлен, который делится на оба данных. Чтобы его найти, делают следующее:

  1. Выписывают все переменные, которые встречаются хотя бы в одном одночлене.
  2. Подставляют к ним наибольшую степень, в которой они встречаются.

Например, требуется найти НОК для одночленов

3p4q2s2 и 4qrs3

Выпишем все переменные, которые встречаются в первом, во втором или обоих одночленах:

pqsr

Теперь подставим максимальные степени:

p4q2rs3

Как и в случае НОД, числовые коэффициенты при нахождении НОК для одночленов не учитываются.