Какие свойства у натуральных чисел?

В конце XIX века итальянским математиком Д. Пеано были сформулированы свойства следования натуральных чисел:

  • 1 — это первое натуральное число, перед ним нет других натуральных чисел. То есть единица не следует ни за каким другим натуральным числом.
  • За каждым натуральным числом следует другое натуральное число. Причем только одно. Из этого следует, что каждое натуральное число, кроме 1, следует за другим.
  • Подмножество натуральных чисел, начинающееся с 1, после которой друг за другом следуют натуральные числа, содержит все натуральные числа.

Из этих свойств выводятся другие свойства натуральных чисел и операции над ними.

При умножении и сложении натуральных чисел в результате получается натуральное число. А также сложение и умножение подчиняются законам перестановочности и сочетательности. Умножение, кроме того, подчиняется распределительному закону: a(b + c) = ab + ac.

Если в последовательности натуральных чисел число a встречается раньше, чем b, то определяется отношение a < b. При этом должно обязательно найтись такое натуральное число c, чтобы a + c = b.

Если a и b любые натуральные числа, то они могут находиться между собой в одном из трех соотношений — a = b, a < b, b < a.

Если a < b и b < c, то a < c.

Если даны три натуральных числа a, b, c и a < b, то будут выполняться следующие неравенства: a + c < b + c и ac < bc.

Если даны три натуральных числа a < b < c, то выполняется неравенство b – a < c – a.