Методы решения квадратных неравенств

Квадратные неравенства — это неравенства, содержащие квадратный трехчлен ax2 + bx + c, где a ≠ 0.

Решить квадратное неравенство (как и любое другое) — это значит, найти область значений переменной (x), при которых неравенство становится верным.

Квадратное неравенство можно решить графическим методом (методом изображения параболы) и методом интервалов. Хотя метод интервалов также можно считать графическим, если эти интервалы изображаются на прямой.

Как известно, графиком функции y = ax2 + bx + c является парабола. Ее ветви направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. Ось x парабола пересекает тогда, когда y = 0. То есть, решив уравнение ax2 + bx + c = 0, мы найдем те координаты x, в которых парабола пересекает ось x. Та часть (или части) параболы, которая лежит выше оси x, - это положительные значения функции. Ниже оси x — отрицательные. В зависимости от знака квадратного неравенства указываются числовые промежутки, где функция y = ax2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения.

Парабола может и не пересекать ось x. При этом соответствующее такой функции квадратное уравнение корней не имеет. Если же говорить о соответствующем неравенстве, то его решение зависит от знака неравенства и того, выше или ниже оси x расположена парабола. Когда знак неравенства > (, т. е. больше нуля), то вся парабола (любые значения x) является его решением, если она расположена выше оси x. Если знак

Для того, чтобы схематично изобразить или вообразить параболу на числовой оси, надо найти корни уравнения ax2 + bx + c = 0 (или обнаружить их отсутствие).

Пусть дано квадратное неравенство 4x2 – 5x + 1 < 0. Найдем корни уравнения 4x2 – 5x + 1 = 0:

D = (–5)2 – 4 * 4 * 1 = 25 – 16 = 9
x1 = (–(–5) + 3) / (2 * 4) = 1; x2 = (–(–5) – 3) / (2 * 4) = 0,25

Значит, парабола пересекает ось x в двух точках: 0,25 и 1. Так как коэффициент a данного уравнения положительный, то ветви параболы направлены вверх. Так как знак соответствующего уравнению неравенства < (требуется найти области значения x, при которых квадратный трехчлен меньше нуля), то область значений параболы, удовлетворяющих неравенству, находится в промежутке от 0,25 до 1 (чтобы понять это надо нарисовать или представить параболу). Так как знак неравенства не строгий, то сами эти числа в область значений не входят.

Таким образом, решением квадратного неравенства 4x2 – 5x + 1 < 0 является числовой промежуток, где x ∈ (0,25; 1).

Решение квадратных неравенств методом интервалов заключается в следующем:

  1. Определяются корни соответствующего трехчлену уравнения.
  2. Квадратных трехчлен раскладывается на множители по формуле ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 корни квадратного уравнения.
  3. Выясняется, при каких значениях x (на каких интервалах) разложенный на множители трехчлен положителен или отрицателен.
  4. В зависимости от знака квадратного неравенства определяется область значений, являющаяся его решением.

Пусть дано рассмотренное выше неравенство. Так как его корни 0,25 и 1, то получим неравенство:

4(x – 0,25)(x – 1) < 0

При каких значениях x данное произведение будет отрицательно?

  • Если x > 1, то все множители (и x – 0,25, и x – 1, и 4) положительны и, следовательно, произведение положительно. Значит область значений x > 1 не может быть решением неравенства.
  • Если 0,25 < x < 1, то множитель x – 0,25 > 0, а вот x – 1 < 0. Следовательно, произведение множителей отрицательно, а неравенство верно. Значит промежуток (0,25; 1) является решением неравенства.
  • Если x < 0,25, то x – 0,25 < 0 и x – 1 < 0. Произведение двух отрицательных множителей и одного положительного (4) даст положительное число. Таким образом область значений x меньше 0,25 не является решением неравенства.

Делается вывод, что решением является лишь один интервал, где x ∈ (0,25; 1). При этом для наглядности на числовой прямой обозначают интервалы, где x принимает положительные или отрицательные значения.