Методы решения квадратных неравенств

Квадратные неравенства — это неравенства, содержащие квадратный трехчлен ax2 + bx + c, где a ≠ 0.

Решить квадратное неравенство (как и любое другое) — это значит, найти область значений переменной (x), при которых неравенство становится верным.

Квадратное неравенство можно решить графическим методом (методом изображения параболы) и методом интервалов. Хотя метод интервалов также можно считать графическим, если эти интервалы изображаются на прямой.

Как известно, графиком функции y = ax2 + bx + c является парабола. Ее ветви направлены вверх, если a > 0, и вниз, если a < 0. Ось x парабола пересекает тогда, когда y = 0. То есть, решив уравнение ax2 + bx + c = 0, мы найдем те координаты x, в которых парабола пересекает ось x. Та часть (или части) параболы, которая лежит выше оси x, - это положительные значения функции. Ниже оси x — отрицательные. В зависимости от знака квадратного неравенства указываются числовые промежутки, где функция y = ax2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения.

Парабола может и не пересекать ось x. При этом соответствующее такой функции квадратное уравнение корней не имеет. Если же говорить о соответствующем неравенстве, то его решение зависит от знака неравенства и того, выше или ниже оси x расположена парабола. Когда знак неравенства > (, т. е. больше нуля), то вся парабола (любые значения x) является его решением, если она расположена выше оси x. Если знак <, а парабола расположена выше оси x, то решений у неравенства нет. В случае с параболой, расположенной ниже оси x, ситуация обратная: при знаке < решением неравенства являются любые значения x, при знаке > решений нет.

Для того, чтобы схематично изобразить или вообразить параболу на числовой оси, надо найти корни уравнения ax2 + bx + c = 0 (или обнаружить их отсутствие).

Пусть дано квадратное неравенство 4x2 – 5x + 1 < 0. Найдем корни уравнения 4x2 – 5x + 1 = 0:

D = (–5)2 – 4 * 4 * 1 = 25 – 16 = 9
x1 = (–(–5) + 3) / (2 * 4) = 1; x2 = (–(–5) – 3) / (2 * 4) = 0,25

Значит, парабола пересекает ось x в двух точках: 0,25 и 1. Так как коэффициент a данного уравнения положительный, то ветви параболы направлены вверх. Так как знак соответствующего уравнению неравенства < (требуется найти области значения x, при которых квадратный трехчлен меньше нуля), то область значений параболы, удовлетворяющих неравенству, находится в промежутке от 0,25 до 1 (чтобы понять это надо нарисовать или представить параболу). Так как знак неравенства не строгий, то сами эти числа в область значений не входят.

Таким образом, решением квадратного неравенства 4x2 – 5x + 1 < 0 является числовой промежуток, где x ∈ (0,25; 1).

Решение квадратных неравенств методом интервалов заключается в следующем:

  1. Определяются корни соответствующего трехчлену уравнения.
  2. Квадратных трехчлен раскладывается на множители по формуле ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 корни квадратного уравнения.
  3. Выясняется, при каких значениях x (на каких интервалах) разложенный на множители трехчлен положителен или отрицателен.
  4. В зависимости от знака квадратного неравенства определяется область значений, являющаяся его решением.

Пусть дано рассмотренное выше неравенство. Так как его корни 0,25 и 1, то получим неравенство:

4(x – 0,25)(x – 1) < 0

При каких значениях x данное произведение будет отрицательно?

  • Если x > 1, то все множители (и x – 0,25, и x – 1, и 4) положительны и, следовательно, произведение положительно. Значит область значений x > 1 не может быть решением неравенства.
  • Если 0,25 < x < 1, то множитель x – 0,25 > 0, а вот x – 1 < 0. Следовательно, произведение множителей отрицательно, а неравенство верно. Значит промежуток (0,25; 1) является решением неравенства.
  • Если x < 0,25, то x – 0,25 < 0 и x – 1 < 0. Произведение двух отрицательных множителей и одного положительного (4) даст положительное число. Таким образом область значений x меньше 0,25 не является решением неравенства.

Делается вывод, что решением является лишь один интервал, где x ∈ (0,25; 1). При этом для наглядности на числовой прямой обозначают интервалы, где x принимает положительные или отрицательные значения.