Пример решения рационального уравнения

Уравнение f(x) = 0 называют рациональным, если f(x) является рациональным выражением. При решении рациональных уравнений, содержащих дроби и многочлены, требуется уметь их правильно преобразовывать. Приведя рациональное дробное уравнение к одной дроби, находят корни числителя (приравняв его к нулю), после чего проверяют корни на то, что они не обращают в нуль знаменатель.

Пусть дано такое рациональное уравнение:

Пример рационального уравнения

Сначала надо преобразовать левую часть уравнения, представляющую собой рациональное дробное выражение, к одной дроби. Для этого требуется найти общий знаменатель. Выражение x2 – 4 можно разложить на множители (x – 2) (x + 2). Это и будет общим знаменателем, т. к. у первой дроби выражения знаменатель (x – 2), а у третьего члена (числа –2) его вообще нет. При преобразовании дополнительным множителем к числителю первой дроби будет (x + 2), ко второй - число 1 (или отсутствие множителя), к третьей — весь знаменатель (x – 2) (x + 2). Выполним описанные действия:

Преобразования рационального уравнения

Дробь может равняться нулю, если ее числитель равен нулю. Поэтому чтобы решить это дробное рациональное уравнение достаточно решить уравнение по отношению к числителю:
4x + 16 = 0
x = –16 ÷ 4
x = –4

Если бы уравнение было квадратным, то корней могло бы быть два.

После того, как корень для числителя найден, следует проверить не обращает ли он в нуль знаменатель. Если это происходит, то найденный корень числителя не может быть корнем всего рационального уравнения. Проверяем знаменатель:
(x – 2)(x + 2) = (–4 – 2)(–4 + 2) = –6 × –2 = 12

При x = –4 знаменатель в нуль не обращается. Значит, корнем исходного рационального уравнения является число –4.

Бывает, что рациональное выражение составляется при решении задачи. После того как корни найдены, недостаточно проверить только знаменатель на необращение его в нуль при данных корнях. Еще необходимо сопоставить корни с тем, что ищется по условию задачи. Например, если находятся количество предметов, то корень не может быть отрицательным числом.