Как сравнивать действительные числа

Действительные числа (R) включают в себя все рациональные и иррациональные числа. По-другому, действительные числа называются вещественными числами.

При сравнении действительных чисел можно руководствоваться таким правилом:

Если разность чисел a и b, где a — уменьшаемое, а b — вычитаемое, дает положительное число, то это значит, что a > b. Если же в результате получается отрицательное число, то a < b.

Например, сравним числа –5 и –7. Вычтем из первого второе:
–5 – (–7) = –5 + 7 = 2

Поскольку получилось положительное число, то значит первое число больше второго, т. е. –5 > –7.

Сравним числа 2,31 и 3,14... :
2,31 – 3,14... = –0,83...

Получилось отрицательное число, значит уменьшаемое меньше вычитаемого: 2,31 < 3,14... .

Вместо такого «арифметического» способа сравнения, чаще используют «геометрический». Все действительны числа однозначно определяются точкой на числовой прямой (координатной прямой). Все действительные числа можно представить в виде десятичной дроби и найти на прямой точку, которая соответствует этой дроби. Причем каждой точке числовой прямой соответствует только одно действительное число. Таким образом устанавливается взаимно-однозначное соответствие между точками и числами.

Возьмем координатную прямую, оговорим, что слева направо значения увеличиваются, отметим на ней единичный отрезок. В таком случае, чем правее будет находиться точка соответствующего действительного числа, тем это число больше.

При использовании такой модели числовой прямой надо уметь переводить числа в десятичные дроби и находить соответствующие им точки.

Пусть даны для сравнения числа обыкновенная дробь и 1,6. Преобразовав обыкновенную дробь в десятичную, получим примерно 1,7. Это число на координатной прямой располагается правее, чем число 1,6, а значит больше его. Таким образом, обыкновенная дробь > 1,6.

Сравним числа –√10 и –3. Будем рассуждать следующим образом. √10 – это положительное иррациональное число, которое немного больше, чем 3, т. к. √9 = 3. Значит –√10 — это отрицательное иррациональное число –3,... . Поскольку у этого числа в дробной части есть значащие цифры, а у числа –3 их нет, то точка с координатой –√10 располагается левее на числовой прямой. Это значит, –√10 < –3.