Правила решения неравенств

При решении числовых неравенств пользуются несколькими правилами, основанными на свойствах неравенств. Решить числовое неравенство с переменной — это значит, найти такие значения переменной (область значений), при которых данное неравенство становится верным. Обычно значения переменных выражаются пределами (множествами чисел, лучами, отрезками), которым они принадлежат.

Правила решения неравенств позволяют привести неравенство к виду, когда область значений становится очевидна. Например, x < b, где знак неравенства и число b могут быть любыми.

Перечислим эти правила.

Член неравенства можно перенести из одной его части в другую. При этом следует поменять знак этого члена на противоположный. Например:

3x + 4 < 10
3x < 10 – 4

Здесь положительное число 4 было перенесено из левой части неравенства в правую. При этом число стало отрицательным. Почему можно это делать? Одним из свойств числовых неравенств является следующее: если a < b, то a + c < b + c. Другими словами, если к обоим частям исходного неравенства прибавить одно и то же число, то получится равносильное неравенство.

Перенос члена неравенства из одной части в другую с противоположным знаком — это по-сути прибавление к обоим частям одного и того же числа. В приведенном выше примере к обоим частям неравенства было прибавлено число –4:

3x + 4 + (–4) < 10 + (–4)
3x < 10 – 4

Левую и правую части неравенства можно одновременно умножить или разделить на одно и тоже число. Если это число положительное, то знак неравенства не меняется. Если это число отрицательно, то знак неравенства меняется на противоположный.

Данное правило вытекает из свойства числовых неравенств. Если a < b и c > 0, то ac < bc; если же с < 0, то ac > bc. Это правило касается только умножения. Однако операцию деления можно представить, как умножение на 1/c (как дробь).

Например, неравенство 3x < 6 можно упростить, разделив обе его части на 3. Так как 3 — положительное число, то знак неравенства остается прежним. В результате получается неравенство вида x < 2, глядя на которое сразу можно сказать, что областью значения переменной x является числовой луч (–∞; 2). Именно при этих значениях переменной x исходное неравенство (которое было дано до упрощения) является верным.

Допустим, дано неравенство –0,5x ≥ 1. Здесь можно умножить обе части на –2 (чтобы получить 1x в левой части). Поскольку умножение выполняется на отрицательное число, то следует поменять знак неравенства на обратный. Получится x ≤ –2. Таким образом, неравенство –0,5x ≥ 1 верно при x ∈ (–∞; 2].