Квадрат суммы нескольких слагаемых

Рассмотрим квадрат трех слагаемых:

(a + b + c)2

Представим его в таком виде:

((a + b) + c)2

Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:

((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

Итак в результате преобразования мы получили:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Если бы слагаемых было 4, то в результате преобразования выглядели так:

(a + b + c + d)2 = ((a + b) + (c + d))2 = (a + b)2 + 2(a+b)(c+d) + (c + d)2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2

В результате была бы получена следующая формула:

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

Вообще независимо от того, сколько слагаемых в квадрате суммы, при раскрытии скобок получается сумма квадратов всех слагаемых плюс удвоенные пары произведений этих слагаемых.