Почему число в степени 0 равно 1?

Существует правило, что любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, будет равно единице:
20 = 1;      1.50 = 1;      100000 = 1

Однако почему это так?

Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени:
43 = 4 × 4 × 4;      26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Когда же показатель степени равен 1, то при возведении имеется всего лишь один множитель (если тут вообще можно говорить о множителях), и поэтому результат возведения равен основанию степени:
181 = 18;      (–3.4)1 = –3.4

Но как в таком случае быть с нулевым показателем? Что на что умножается?

Попробуем пойти иным путем. Известно, что если у двух степеней одинаковые основания, но разные показатели, то основание можно оставить тем же самым, а показатели либо сложить друг с другом (если степени перемножаются), либо вычесть показатель делителя из показателя делимого (если степени делятся):
32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27
45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16

А теперь рассмотрим такой пример:
82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ?

Что если мы не будем пользоваться свойством степеней с одинаковым основанием и произведем вычисления по порядку их следования:
82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1

Вот мы и получили заветную единицу. Таким образом нулевой показатель степени как бы говорит о том, что число не умножается само на себя, а делится само на себя.

И отсюда становится понятно, почему выражение 00 не имеет смысла. Ведь нельзя делить на 0.

Можно рассуждать по-другому. Если имеется, например, умножение степеней 52 × 50 = 52+0 = 52, то отсюда следует, что 52 было умножено на 1. Следовательно, 50 = 1.

11 Comments

Ещё один способ доказать

a^1*a^-1= a^1+(-1)=a^0 (по св-ву умножения степеней с одинаковым основанием)
это то же выражение можно записать иначе a^1*a^-1 это тоже самое что a*1/a то есть 1.
От сюда следует тождество a^0=1

...

a^(1+(-1))=a^0
Не путайте людей

степень

более, чем доступно. Очень хотелось вспомнить, почему так. И вот, такой простой ответ. Спасибо!

/Ведь нельзя делить на 0

....Ведь нельзя делить на 0?

А вот Геннадий Адольфович Кернес утверждал обратное,
Я поделю тебя на ноль! (с) Кернес
LOL

нулевая степень числа

икс в степени n=дроби в числителе которой икс в степени n+1 в знаменателе х-подставляйте 0 вместо n....Я ее ученик и вобщем-то причем.

Объяснение на пальцах

Самое простое - максимально развернуть формулы (объяснение для школьников/детей):
X*0^3 = 1*X * 1*0*0*0 - Один Икс умножается на Единицу, умноженную на 0 трижды
X*0^2 = 1*X * 1*0*0 - Один Икс умножается на Единицу, умноженную на 0 дважды
X*0^1 = 1*X * 1*0 - Один Икс умножается на Единицу, умноженную на 0
X*0^0 = 1*X * 1 - Один Икс умножается на Единицу
Тем самым, совершенно верно, как и
X^3 = 1*X*X*X
X^2 = 1*X*X
X^1 = 1*X
X^0 = 1

Несогласен в корне !!!

Ноль в степени ноль должен быть равен нулю. Да в программировании и некоторых других науках считают равно еденице потому что иначе стстема развалится если ноль в степени ноль будет нулем, но если мыслить глобально в масштабах вселенной, то ноль в нулевой степени будет ноль, потому что из ничего не может появится что то. Во вселенной свои законы и я порой попажаюсь как именитые математики гесут такой бред на своих конференциях.
Предлагаю подумать вот над чем:
sin Пи =0
tan Пи =0
И по вашему правилу получается полный бред наподобие:
sin Пи ^ (tan Пи) = 1
А теперь подумайте перенеся эти данные на модель нашей вселенной где следуя этому и синус и тангенс от числа Пи будут равны еденице а не нулю. Потому что 1:1 = 1, а не ноль.

Во вселенной также и следует что 1-1=1 а не ноль, потому что ноль это пустота ничего, а при уничтожении взаиморавных материй рождается иная материя или энергия, то есть происходит переход из одного состояния в другое, единственное в такой математике следует помнить что еденица не равна еденице (1≠1) а вот а1=а1, в то же время а1≠б1.
То есть в ппостой математике да можно так 1-1=0, но в глобальной математике если вы доросли умом до нее нельзя впринц пе так делать, все разное нужно помнить об этом и помнить о разности одних и тех же цифр:
Решая задачу 1-1 нужно понимать что есть две еденицы но что это вовсе не означает что они обозначают одну и туже материю, это обозначает что сила или объем энергии в них одинаковый и именно поэтому обе материи обозначают 1, но правильнее тогда записывать так 1-1≠0, а1-б1=любое от в1до я1 кроме а1 или б1.

Поэтому ноль такогопонятия в нлобальной математике нет в плане решения задач, и он используется совсем подругому, например для обозначения того что рассматриваемое действие со стороны расмматриваемого объекта не имело место быть (0+0=0) или действие не вызвало эффекта на объект или материю (0-1=0) или эффекта не было на воздействываемую материю, но был
на воздействующую (0-1=-1 (нсли точнее переход иматерии из состояния а1 в состояние б1) и 0 (точнее состояние в1 осталось неизменным))...

Кто то явно не поймет о чем я толкую, можете писать мне в ВК (vk.com/svf92)