30/08/2014

Тождество — это равенство, которое остается верным при любых допустимых значениях переменных.

Тождественно равные выражения — это такие выражения, которые можно приравнять друг к другу.

Примерами тождеств являются равенства, описывающие законы арифметики:

a + b = b + a, ab = ba и другие.

Другие примеры — формулы сокращенного умножения: квадратов суммы и разности, суммы и разности квадратов и другие.

Тождественным преобразованием называется замена одного выражения на тождественно равное ему другое выражение.

30/08/2014

Рассмотрим квадрат трех слагаемых:

(a + b + c)2

Представим его в таком виде:

((a + b) + c)2

Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:

((a + b) + c)2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

Итак в результате преобразования мы получили:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

30/08/2014

Сумма кубов представляет собой такое выражение:

a3 + b3

Можно ли представить эту сумму в качестве каких-либо множителей?

Вспомним формулу куба суммы:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Перенесем слагаемые с коэффициентом 3 в левую часть, получим:

(a + b)3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3

Преобразуем левую часть тождества:

30/08/2014

Известны три признака равенства любых треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по двум угла и стороне между ними;
  3. по трем сторонам.

У двух прямоугольных треугольников всегда одна пара углов равна друг другу — это прямые углы. Поэтому признаки равенства треугольников для прямоугольных треугольников упрощаются в том смысле, что для утверждения, что треугольники равны, надо знать о равенстве меньшего количества элементов.

28/08/2014

Куб суммы двух выражений равен сумме кубов этих выражений, сложенной с утроенным произведением квадрата первого выражения на второе и утроенным произведением квадрата второго выражения на первое.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Здесь (a + b)3 — куб суммы, a3 + b3 — сумма кубов, 3a2b — утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, 3ab2 — утроенное произведение квадрата второго выражения на первое.

28/08/2014

Если мы посмотрим на выражение 0,25x2 + 2xy + y2, то оно похоже на квадрат двучлена, если представить, что 0,25x2 = (0,5x)2, a 2xy = 0,5x * 2y * 2. Однако, если бы у нас был квадрат суммы (0,5x + 2y)2, то должен был бы получиться такой трехчлен:

0,25x2 + 2xy + 4y2.

Он отличается от того, что нам дан на 3y2 в большую сторону. Но мы можем создать такое тождество:

0,25x2 + 2xy + y2 = 0,25x2 + 2xy + 4y2 – 3y2

28/08/2014

Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение этих выражений. Формула квадрата суммы записывается так:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Здесь (a + b)2 — квадрат суммы, a2 + b2 — сумма квадратов, 2ab — удвоенное произведение выражений.

Эту формула выводится из умножения многочлена на многочлен:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2

28/08/2014

Говоря о перпендикуляре имеют в виду, что из какой-либо точки в пространстве проводят перпендикулярную прямую к какой-либо прямой. При этом, понятное дело, точка не должна лежать на прямой, к которой проводится перпендикуляр.

Как известно, из точки, не лежащей на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Однако можно провести бесконечное множество прямых не перпендикулярных к заданной прямой и пересекающих ее.

Рассмотрим рисунок:

Перпендикулярная и наклонная прямые

28/08/2014

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. Почему? На самом деле прийти к такому умозаключению можно несколькими способами.

Во-первых, если знать тот факт, что напротив большего угла всегда лежит большая сторона, и два непрямых угла прямоугольного треугольника острые, то доказательство будет выглядеть совсем просто. Прямой угол равен 90°, и напротив него лежит гипотенуза. Острые углы меньше 90°, значит и лежащие напротив них стороны (катеты) меньше, чем лежащая напротив прямого угла гипотенуза.

28/08/2014

В третьем признаке равенства треугольников утверждается их равенство по равным трем сторонам. Поэтому требуется доказать, что если у двух треугольников равные стороны, то эти треугольники равны.

Пусть даны треугольники ABC и KLM. В результате измерений было выяснено, что AB = KL, BC = LM, AC = KM.

Треугольники с равными сторонами

Равны ли эти треугольники?

Совместим два треугольника по их самой длинной стороне так, чтобы получилась симметричная фигура.

Страницы

Подписаться на Front page feed