27/08/2014

Допустим, требуется умножить сумму a + b на сумму c + d. Представим сумму c + d как некое число m, тогда получим умножение многочлена на одночлен, которое выполняется по правилу распределительного закона: нужно умножить каждый член многочлена на одночлен, а полученные произведения сложить.

(a + b)m = am + bm

Теперь вернем вместо m сумму c + d:

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

Получилась сумма произведений одночлена на многочлен. Выполним умножение:

a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd

27/08/2014

В многочленах вынесение общего множителя за скобки может упростить решение уравнения, сократить дробь, привести дроби к общему знаменателю.

Например, дано такое уравнение:

x2 + 9x = 0

Вынесем x за скобку:

x(x + 9) = 0

Ясно, что это уравнение может иметь только два корня x = 0 и x = –9. Только при таких значениях x все левое выражение может быть равно нулю.

Таким образом вынесение общего множителя позволило нам не решать квадратное уравнение.

27/08/2014

Существует распределительное свойство умножения, которое записывается так:

(a + b)c = ac + bc

Словами сформулировать это можно так: чтобы умножить сумму на число, надо умножить на число каждое слагаемое, после чего сложить полученные произведения.

Пусть a + b — это многочлен, а c — одночлен, тогда умножение многочлена на одночлен сводится к тому же правилу распределительного закона: чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на одночлен каждый член многочлена и сложить полученные произведения.

26/08/2014

Многочлен считается приведенным к стандартному виду тогда, когда все составляющие его одночлены приведены к стандартному виду, а также приведены все подобные члены, то есть в многочлене нет подобных членов.

Например, следующий многочлен не приведен к стандартному виду:

4a * ab2 + 8c – a2b3 – 3c

У него первый одночлен не приведен к своему стандартному виду, а также есть подобные. Исправив эти недочеты, получим:

4a2b2 – a2b3 + 5c

Теперь многочлен приведен к стандартному виду.

26/08/2014

Графиком функции обратной пропорциональности вида y = k/x является гипербола. Что же она из себя представляет?

Пусть у нас будет функция y = 1/x. Посмотрим, как меняется значение y при изменении x:

x = -1000, y = -1/1000
x = -1, y = -1
x = -0,001, y = -1000
x = 0,001, y = 1000
x = 1, y = 1
x = 1000, y = 1/1000

Чем больше абсолютное значение x, тем меньше абсолютное значение y. Но при этом y никогда не станет равен 0, так как x не может быть равен нулю.

26/08/2014

Существует множество примеров, в которых есть некая постоянная, являющаяся произведением двух других переменных величин.

Например, у вас есть неизменная сумма денег, на которую нужно купить тетрадей. Тетради могут быть по разной цене, и поэтому в имеющуюся сумму их можно купить разное количество. Если например у вас 100 руб, а тетради стоят 20 руб, то вы купите 5 штук, а если 10 руб., то 10 штук. В любом случае произведение будет равняться 100 — это постоянная величина, а количество и цена в данном случае — переменные.

26/08/2014

Существует теорема о том, что в равнобедренном треугольнике проведенная к его основанию высота также является биссектрисой и медианой. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Представим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB и BC и основанием AC. Проведем в нем высоту BD.

Отметим, следующие факты:

25/08/2014

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатели оставить без изменений:

a/b + c/b = (a+c) / b, где b ≠ 0.

Это можно доказать. Если a/b = p, с/b = q, то a = pb, c = qb.

a + c = pb + qb = b(p+q)
a + c = b(p+q)
(a + c) / b = p + q.

Но p + q в то же время равно a/b + c/b. Значит:

(a + c) / b = a/b + c/b.

25/08/2014

Основное свойство дроби формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменяется.

Данное утверждение можно записать так:

a/b = ac/bc, где b ≠ 0 и с ≠ 0.

Данное свойство является следствием того, что если левую и правую части равенства умножить на одно и то же число, то равенство все равно останется верным. Пусть, например, a/b = k. Избавимся от деления:

a = bk

Теперь умножим обе части на c:

ac = bkc

Выразим k:

k = ac/bc

25/08/2014

При умножении двух дробей получается новая дробь, числитель которой равен произведению числителей данных двух дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Это правило записывают так:

a/b * с/d = ac/bd, где b ≠ 0 и d ≠ 0.

Отсюда следует, что произведение двух дробей можно заменить одной дробью.

Доказать это правило можно следующим образом:

Пусть a/b = p, c/d = q. Избавимся от деления:

a = pb и c = qd

Если перемножить левые и правые части этих выражений, то равенство сохранится:

ac = pbqd или ac = bd * pq

Страницы

Подписаться на Front page feed