Геометрия, 7 класс. Начальные геометрические сведения

Какие фигуры называются равными

Фигуры называют равными, если совпадает их форма и размеры. Из этого определения следует, например, что если заданные прямоугольник и квадрат имеют равные площади, то они всё-равно не становятся равными фигурами, так как это разные фигуры по форме. Или, два круга однозначно имеют одну и туже форму, но если их радиусы различны, то это тоже не равные фигуры, так как не совпадают их размеры.

Доказательства свойства биссектрисы угла

Свойство биссектрисы угла заключается в том, что каждая ее точка равноудалена от сторон угла.

Это свойство можно сформулировать в форме обратной теоремы: все точки, лежащие внутри угла и равноудаленные от его сторон, лежат на его биссектрисе.

Следует вспомнить, что расстояние от точки до прямой — это отрезок, перпендикулярный к данной прямой, проведенный из данной точки.

Итак, в прямой теореме надо доказать, что если из любой точки, лежащей на биссектрисе, провести перпендикуляры к сторонам угла, то эти перпендикуляры будут равны.

Что такое срединный перпендикуляр к отрезку?

Срединный перпендикуляр к отрезку — это перпендикулярная к нему прямая, которая проходит через его середину.

Понятно, что далеко не через каждую точку пространства, не лежащую на отрезке, можно провести срединный перпендикуляр. Через любую точку можно провести перпендикуляр и при том только один, но он далеко не обязательно будет срединным, то есть не будет делить отрезок на две равные части.

Особенностью всех точек, лежащих на срединном перпендикуляре является то, что они равноудалены от концов отрезка, к которому проведен данный перпендикуляр.

Доказать, что перпендикуляр меньше наклонной

Говоря о перпендикуляре имеют в виду, что из какой-либо точки в пространстве проводят перпендикулярную прямую к какой-либо прямой. При этом, понятное дело, точка не должна лежать на прямой, к которой проводится перпендикуляр.

Как известно, из точки, не лежащей на прямой, можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Однако можно провести бесконечное множество прямых не перпендикулярных к заданной прямой и пересекающих ее.

Рассмотрим рисунок:

Перпендикулярная и наклонная прямые

Существование перпендикуляра к прямой

Существует такая теорема:

К любой прямой из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр (перпендикулярную ей прямую).

Доказать эту теорему можно следующим образом:

Пусть нам дана некая прямая a и точка B, лежащая вне прямой a.

Прямая a делит плоскость на две полуплоскости, и, понятное дело, точка B находится лишь в одной из них.

Докажите, что вертикальные углы равны

Вертикальные углы образуются, если стороны одного угла продлить за его вершину.

В этом случае получаются две пересекающиеся прямые, образующие четыре угла. Эти четыре угла попарно вертикальные.

Вертикальные углы находятся друг напротив друга, а рядом лежащие углы являются смежными, так как у них одна сторона общая, а не общие стороны лежат на одной прямой.

Равенство вертикальных углов является следствием определения смежных углов. Смежные углы по определению в сумме составляют 180°.

Сравнение геометрических фигур

Сравнение геометрических фигур применяется с целью определения, какая из них больше или меньше другой, или же не равны ли они друг другу.

Понятно, что при этом имеется в виду, что скорее всего сравниваются фигуры относящиеся к одному виду геометрических фигур. Например, уместно сравнить два отрезка между собой, или два треугольники, или два угла. Но сложно сравнивать между собой, например, треугольник и отрезок, так как это разные геометрические фигуры, которые имеют разную форму.

Что такое внешняя и внутренняя области угла?

Угол своими лучами делит плоскость на две части. Одна находится внутри угла, другая — вне его. Однако, углом можно посчитать границы любой из этих двух плоскостей. Можно сказать по-другому — два луча, исходящие из одной точки образуют два угла: один с одной стороны между двумя лучами, второй — с другой стороны.

Какие геометрические фигуры простейшие?

К простейшим геометрическим фигурам относятся точка, прямая, отрезок, луч, полуплоскость и угол.

Даже среди простейших фигур выделяется самая простейшая — это точка. Все остальные фигуры состоят из множества точек. В геометрии принято обозначать точки прописными (большими) латинскими буквами. Например, точка A, точка L.

Что изучает геометрия?

Геометрия изучает форму предметов, определяет их размеры и взаимное расположение.

Многие предметы имеют прямоугольную форму, другие круглую, третьи - треугольную. Бывают и более сложные формы.

Если посмотреть более внимательно, то можно заметить, что тот же прямоугольник состоит из четырех отрезков, которые образуют его стороны. Т. е. можно сказать, что большинство фигур состоит из более простых фигур. Все фигуры состоят из точек. Поэтому точку можно считать простейшим элементом.