Геометрия, 7 класс. Треугольник

Соотношение между сторонами и углами треугольника

В треугольнике между его сторонами и углами существуют определенные соотношения. Если какой-либо угол треугольника больше другого, то напротив его лежит сторона с большей длиной, чем напротив другого. Другими словами, напротив самого большого угла треугольника лежит самая большая сторона, напротив среднего угла — средняя сторона, а напротив самого маленького угла — самая маленькая сторона.

Понятно, что если углы треугольника равны, то и стороны, напротив которых они лежат, равны.

Доказательство неравенства треугольника

Неравенство треугольника — это теорема в которой утверждается, что в треугольнике любая сторона меньше суммы двух других.

У треугольника вершины никогда не лежат на одной прямой. Поэтому эту теорему можно сформулировать по-другому: если три точки не лежат на одной прямой, то расстояние между любыми двумя из них меньше, чем сумма остальных двух расстояний.

Если дан треугольник ABC, то, применяя по отношению к нему теорему о неравенстве треугольника, можно записать:

AB < BC + AC, BC < AB + AC, AC < AB + BC

Какие признаки равенства прямоугольных треугольников?

Известны три признака равенства любых треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по двум угла и стороне между ними;
  3. по трем сторонам.

У двух прямоугольных треугольников всегда одна пара углов равна друг другу — это прямые углы. Поэтому признаки равенства треугольников для прямоугольных треугольников упрощаются в том смысле, что для утверждения, что треугольники равны, надо знать о равенстве меньшего количества элементов.

Доказать, что гипотенуза больше катета

В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. Почему? На самом деле прийти к такому умозаключению можно несколькими способами.

Во-первых, если знать тот факт, что напротив большего угла всегда лежит большая сторона, и два непрямых угла прямоугольного треугольника острые, то доказательство будет выглядеть совсем просто. Прямой угол равен 90°, и напротив него лежит гипотенуза. Острые углы меньше 90°, значит и лежащие напротив них стороны (катеты) меньше, чем лежащая напротив прямого угла гипотенуза.

Доказательство третьего признака равенства треугольников

В третьем признаке равенства треугольников утверждается их равенство по равным трем сторонам. Поэтому требуется доказать, что если у двух треугольников равные стороны, то эти треугольники равны.

Пусть даны треугольники ABC и KLM. В результате измерений было выяснено, что AB = KL, BC = LM, AC = KM.

Треугольники с равными сторонами

Равны ли эти треугольники?

Совместим два треугольника по их самой длинной стороне так, чтобы получилась симметричная фигура.

Доказать, что высота равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой

Существует теорема о том, что в равнобедренном треугольнике проведенная к его основанию высота также является биссектрисой и медианой. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Представим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB и BC и основанием AC. Проведем в нем высоту BD.

Отметим, следующие факты: