Геометрия, 8 класс. Начальные геометрические сведения

Если накрест лежащие углы при секущей равны, то прямые параллельны

Пусть даны две прямые a и b, которые пересекаются прямой c. То есть прямая c является секущей для прямых a и b. При этом образуются две пары накрест лежащих углов. Если в любой из этих пар углы равны, то прямые a и b параллельны. На чертеже обозначена одна пара равных между собой накрест лежащих углов.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых
Дано (условие). Равенство накрест лежащих углов.

Что называется многоугольником

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная. Разберем следующие вопросы:

  • Что значит ломаная?
  • Что значит простая ломаная?
  • Что значит замкнутая ломаная?

Ломаная — это фигура, состоящая из отрезков, при этом смежные (соседние) отрезки не лежат на одной прямой. У любой пары смежных отрезков ломаной всегда есть общий конец.

У простой ломаной несмежные отрезки общих точек не имеют. По сути это значит, что никакой отрезок простой ломаной не пересекает другой отрезок. Исключение — это точки соединения смежных отрезков.

Углы с соответственными сторонами

Обычно рассматривают углы либо с соответственными параллельными сторонами, либо с соответственно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим сначала первый случай.

Пусть даны два угла ABC и DEF. Их стороны соответственно параллельны: AB || DE и BC || EF. Такие два угла будут либо равны, либо их сумма будет равняться 180°. На рисунке ниже в первом случае ∠ABC = ∠DEF, а во втором ∠ABC + ∠DEF = 180°.

Примеры углов с соответственно параллельными сторонами

Точки параллельной прямой равноудалены

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой. Это значит, что из какой бы точки одной из параллельных прямых не измерялось расстояние до другой прямой, оно всегда будет одинаковым.

Как известно, расстояние между точкой и прямой — это отрезок перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой; концами отрезка являются данная точка и точка пересечения с данной прямой. Расстояние является кратчайшим путем.

Доказать, что все точки прямой, параллельной данной, равноудалены от данной прямой, можно следующим образом.

Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны

Существует теорема о том, что прямые параллельны, если при пересечении их секущей накрест лежащие углы оказываются равными. Здесь дано — равные накрест лежащие углы при секущей, следствие — прямые параллельны.

Существует обратная теорема: накрест лежащие углы при секущей равны, если она пересекает параллельные прямые. В данном случае дано — параллельные прямые, следствие — равенство накрест лежащих углов при секущей.