Геометрия, 8 класс. Четырехугольник

Виды трапеций

Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна друг другу, а другая — нет.

Исходя из определения трапеции и признаков параллелограмма, параллельные стороны трапеции не могут быть равны друг другу. Иначе другая пара сторон также стала бы параллельной и равной друг другу. В таком случае мы имели бы дело с параллелограммом.

Диагональ делит угол пополам

Одним из признаков ромба является то, что диагонали делят его углы пополам. В виде теоремы этот признак формулируется так:

Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то такой параллелограмм является ромбом.

Если доказывать данный признак, то нам дан параллелограмм, одна диагональ которого делит один угол пополам. Требуется доказать, что у такого параллелограмма будут равны все стороны (именно этот факт является определением ромба).

Пусть дан ромб ABCD, его диагональ BD делит угол B пополам: ∠ABD = ∠CBD.

Диагонали перпендикулярны

Одним из признаков ромба является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. В виде теоремы данный признак формулируется так:

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны друг другу, то такой параллелограмм является ромбом.

Доказательство этой теоремы сводится к тому, чтобы доказать, что у такого параллелограмма стороны равны. Именно равенство сторон параллелограмма позволяет заключить, что это ромб.

Свойство ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Поэтому кроме свойств параллелограмма, он обладает особыми свойствами:

  • диагонали ромба перпендикулярны друг другу;
  • диагонали ромба делят его углы пополам.

Чтобы доказать эти свойства, рассмотрим ромб ABCD. Так как это ромб, все стороны у него равны: AB = BC = CD = DA. Диагонали ромба — AC и BD — пересекаются в точке E.

Доказательство свойств ромба

Прямоугольник - это параллелограмм с равными диагоналями

Одним из признаков прямоугольника является равенство его диагоналей. То есть, если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.

Чтобы доказать данный признак прямоугольника, рассмотрим параллелограмм ABCD, у которого диагонали AC и BD равны. Требуется доказать, что в таком случае ABCD — это прямоугольник. Чтобы это доказать, достаточно доказать, что один из углов параллелограмма прямой, т. к. по еще одному признаку прямоугольника им является параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой.

Если один угол прямой, то это прямоугольник

Одним из признаков прямоугольника является наличие одного прямого угла в параллелограмме. При этом оказывается, что все остальные углы параллелограмма также прямые. Поэтому такой параллелограмм — прямоугольник.

Можно сформулировать данный признак прямоугольника в виде теоремы:

Если один из углов параллелограмма прямой, то такой параллелограмм является прямоугольником.

Доказать это можно следующим образом:

Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого угол A прямой: ∠A = 90°.

Диагонали делятся пополам

Существует теорема о том, что если у четырехугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является параллелограммом.

Так как параллелограммом по определению является четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны, то значит, надо доказать, что если диагонали четырехугольника делятся пополам, то его противоположные стороны равны и параллельны.

Диагонали четырехугольника могут пересекаться, если этот четырехугольник выпуклый. Значит, нам по условию уже дан выпуклый четырехугольник.

Противоположные стороны равны

Определение параллелограмма гласит, что это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу.

Однако для определения четырехугольника как параллелограмма достаточно, если противоположные стороны фигуры просто равны. Параллельность следует из этого, что можно доказать.

То есть, если у четырехугольника противоположные стороны равны, то он параллелограмм. Докажем это.

Две стороны равны и параллельны

Одним из признаков параллелограмма является то, что если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом. То есть, если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то две другие стороны также оказываются равными между собой и параллельными друг другу, т. к. этот факт является определением и свойством параллелограмма.

Таким образом, параллелограмм можно определить лишь по двум сторонам, которые равны и параллельны друг другу.

Теоремы параллелограмма

Параллелограмм представляет собой четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Это определение уже достаточно, так как остальные свойства параллелограмма следуют из него и доказываются в виде теорем.

Основными свойствами параллелограмма являются:

Вписанный четырехугольник

Четырехугольник является вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Такая окружность является описанной около четырехугольника.

Как не каждый четырехугольник можно описать около окружности, также не каждый можно вписать в окружность.

Описанный четырехугольник

Описанный около окружности четырехугольник касается ее всеми своими сторонами. То есть каждая из четырех сторон четырехугольника является касательной к данной окружности. Такая окружности называется вписанной в четырехугольник.

Не каждый четырехугольник можно описать около окружности.

Что называется четырехугольником

Четырехугольник — это многоугольник, у которого четыре стороны и, соответственно, четыре вершины.