Геометрия, 8 класс. Треугольник

Два треугольника подобны, если …

Существует множество случаев подобия треугольников. В курсе геометрии рассматриваются и доказываются лишь некоторые из них. Ниже перечислен более обширный список признаков подобия треугольников.

Два треугольника подобны, если три угла одного соответственно равны трем углам другого. Действительно, легко доказывается, что соответственные стороны таких треугольников пропорциональны.

Доказательство признаков подобия треугольников

Доказательство первого признака подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников утверждает, что если у треугольников две стороны соответственно пропорциональны, а углы между ними равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники ABC и DEF, у которых DE = kAB, EF = kBC и ∠B = ∠E.

Первый признак подобия треугольников

Углы подобных треугольников

У подобных фигур могут быть разные размеры, но всегда одинаковая форма. В случае треугольников они являются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. То есть все три отношения соответствующих сторон треугольника равны одному и тому же числу.

Например, если даны треугольники ABC и DEF, у которых AB/DE = BC/EF = CA/FD, то эти треугольники подобны.

Число, которому равно отношение сторон, называется коэффициентом подобия (k). Таким образом, можно записать отношения сторон подобных треугольников так:

Доказать основное тригонометрическое тождество

Основным тригонометрическим тождеством является следующее равенство:

sin2 α + cos2 α = 1

Это значит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же острого угла равна единице.

Докажем это тригонометрическое тождество. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90º). Проведем в нем высоту CH к гипотенузе.

Косинусы углов

Синусы прямоугольных треугольников

Понятие синуса, также как и косинуса, применимо к острым углам прямоугольных треугольников. Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение катета, который противолежит этому углу, к гипотенузе. (В случае с косинусом это было отношение прилежащего катета к гипотенузе.) Синус обозначается словом sin. В общем случае говорят о синусе угла альфа, или просто синусе альфа; обозначается как sin α.

Поскольку катет всегда меньше гипотенузы, то синус острого угла, также как и косинус, всегда меньше единицы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Косинусы прямоугольных треугольников

Понятие косинуса применимо к острым углам прямоугольного треугольника. Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение катета, который прилежит к данному углу, к гипотенузе. Например, если дан треугольник ABC, где угол C прямой, а AB — гипотенуза, то косинусом угла A будет отношение AC к AB, косинусом угла B будет отношение BC к AB. Косинус обозначается словом cos. Таким образом, cos A = AC/AB, cos B = BC/AB. В общем случае говорят о косинусе угла α; обозначается как cos α.

Пересечение высот треугольника

Существует теорема о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Пусть дан треугольник ABC, в нем проведены высоты AH, BI, CJ. Следует доказать, что три высоты пересекаются в одной некой точке O.

Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам, которым вершины противоположны. Эти прямые пересекутся (так как между собой они параллельными быть не могут), образуя другой треугольник. Обозначим его как DEF. Пусть AB || FE, BC || DF, AC || DE.

Пересечение медиан треугольника

Существует теорема о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2 : 1, где 2 соответствует отрезку от вершины, из которой проведена медиана, до точки пересечения медиан, а 1 соответствует отрезку от точки пересечения медиан до середины стороны, к которой проведена медиана.

Пересечение биссектрис треугольника

Существует теорема о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Данный факт, как и всякая теорема, требует доказательства, так как к примеру можно предположить, что биссектрисы треугольника иногда могут не пересекаться в одной точке. На рисунке ниже слева три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Справа изображена гипотетическая ситуация, когда каждая биссектриса пересекается с двумя другими в разных точках.