Чему равен вписанный в окружность угол?

У вписанного в окружность угла вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами окружности (говорят «пересекают окружность»). Существует теорема о том, что вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Дуга, на которую опирается угол, находится между точками пересечения его сторон с окружностью.

Чтобы доказать теорему о равенстве угла половине дуги, на которую он опирается, проведем касательную к окружности в точку вершины угла.

Определение величины вписанного угла

В данном случае вписанным является угол BAC, который опирается на дугу BC. Надо доказать, что ∠BAC = ½◡BC.

Проведенная касательная DE формирует со сторонами угла BAC два угла - ∠DAB и ∠EAC. Это углы между касательной и хордой. Существует теорема о том, что угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними. Это значит, что
∠DAB = ½◡AB
∠EAC = ½◡AC

Мы знаем, что угол DAE развернутый и равен 180°. Он состоит из трех углов - ∠DAB, ∠BAC и ∠EAC. Значит,
∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = 180°

С другой стороны, дуги AB, BC, CA составляют полную окружность:
◡AB + ◡BC + ◡CA = 360°

Выразим ∠BAC через известные величины:
∠BAC = 180° – ∠DAB – ∠EAC = 180° – ½◡AB – ½◡AC = 180° – ½(◡AB + ◡AC) = 180° – ½(360° – ◡BC) = 180° – 180° + ½◡BC = ½◡BC.

Получилось равенство, которое требовалось доказать.