Существование перпендикуляра к прямой

Существует такая теорема:

К любой прямой из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр (перпендикулярную ей прямую).

Доказать эту теорему можно следующим образом:

Пусть нам дана некая прямая a и точка B, лежащая вне прямой a.

Прямая a делит плоскость на две полуплоскости, и, понятное дело, точка B находится лишь в одной из них.

Согнем плоскость по прямой a, то есть эта прямая будет линией сгиба. В результате две полуплоскости совместятся. Это значит, что точка B совместится с некой точкой C на другой полуплоскости. Ее можно легко найти, проткнув согнутую плоскость в точке B.

Теперь, если разогнуть плоскость обратно, у нас будет прямая и две точки вне ее. Проведем прямую, через точки B и C. Назовем эту прямую d, она пересекает прямую a.

Однако то, что прямая d перпендикулярна прямой a, сказать еще нельзя. Такой вывод можно сделать, если доказать, что

  1. хотя бы один угол при пересекающихся прямых равен 90° (отсюда будет следовать, что все углы равны 90°, и, следовательно, прямые перпендикулярны друг другу);
  2. или доказать, что два любых смежных угла равны между собой (если два смежных угла равны, то каждый из них равен по 90°, и можно сделать такой же вывод как в пункте 1).

У нас нет никаких числовых величин, значит нам остается доказывать равенство смежных углов.

Мы можем взять любые пары смежных углов, но возьмем их так, чтобы они были в разных полуплоскостях от прямой a:

Смежные углы в разных полуплоскостях

Прямая d пересекает прямую a в какой-то точке. Назовем ее точкой M. BM — это отрезок от точки B до M, а CM — отрезок от точки C до M.

Снова согнем плоскость по прямой a. Отрезки BM и CM совместятся, так как у них точки B и C уже были совмещены до этого, а точка M — общая. При этом смежные углы, лежащие по разные стороны от прямой a, также совместятся, так как сторона на прямой a у них общая, точка M общая, а отрезки BM и CM совмещены.

Если два угла совмещаются при наложении, значит они равны друг другу. Но эти углы, кроме того, смежные! Отсюда следует, что они равны по 90°, так как 180° надо поделить поровну на 2. И уже отсюда следует, что все углы при пересекающихся прямых прямые, а следовательно прямые перпендикулярны друг другу.

Поскольку мы могли взять точку B, не лежащую на прямой a, в произвольном месте плоскости, то данное доказательство универсально. Это значит что к любой прямой из любой точки вне ее всегда можно провести перпендикуляр. Или, другими словами, всегда существует перпендикуляр к прямой из любой точки вне ее.