Что такое срединный перпендикуляр к отрезку?

Срединный перпендикуляр к отрезку — это перпендикулярная к нему прямая, которая проходит через его середину.

Понятно, что далеко не через каждую точку пространства, не лежащую на отрезке, можно провести срединный перпендикуляр. Через любую точку можно провести перпендикуляр и при том только один, но он далеко не обязательно будет срединным, то есть не будет делить отрезок на две равные части.

Особенностью всех точек, лежащих на срединном перпендикуляре является то, что они равноудалены от концов отрезка, к которому проведен данный перпендикуляр.

Эта теорема легко доказывается. От любой точки, лежащей на срединном перпендикуляре, проведем отрезки к концам отрезка, к которому проведен срединный перпендикуляр. Получатся два прямоугольных треугольника, у которых один катет общий, а другие равны, так как являются половинками отрезка, к которому проведен срединный перпендикуляр.

По одному из признаков равенства прямоугольных треугольников, если у двух треугольников попарно равны катеты, значит эти треугольники равны. Следовательно, равны и их гипотенузы, а они в данном случае расстояния от точки, лежащей на срединном перпендикуляре, до концов отрезка, к которому он проведен.

Можно сформулировать обратную теорему. Любая точка, которая равноудалена от концов отрезка, лежит не его срединном перпендикуляре.

Доказывается это так. Пусть какая-либо точка на плоскости равноудалена от концов отрезка. Проведем отрезки от этой точки до концов отрезка, от которых она равноудалена. Понятно, что эти проведенные отрезки равны друг другу (ведь точка была равноудалена). Значит, получается равнобедренный треугольник.

Если провести медиану к основанию в равнобедренном треугольнике, то она будет и высотой, а высота — это перпендикуляр.

Зачем проводить медиану? Затем, что медиана делит отрезок на две равные части, то есть является серединой отрезка.

Исходя из данных теорем и их доказательств, можно по-другому сформулировать определение срединного перпендикуляра к отрезку — это множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от концов отрезка, или это геометрическое место точек, равноудаленных от его концов.