Доказательство неравенства треугольника

Неравенство треугольника — это теорема в которой утверждается, что в треугольнике любая сторона меньше суммы двух других.

У треугольника вершины никогда не лежат на одной прямой. Поэтому эту теорему можно сформулировать по-другому: если три точки не лежат на одной прямой, то расстояние между любыми двумя из них меньше, чем сумма остальных двух расстояний.

Если дан треугольник ABC, то, применяя по отношению к нему теорему о неравенстве треугольника, можно записать:

AB < BC + AC, BC < AB + AC, AC < AB + BC

Проведем высоту к стороне AC этого треугольника. Она будет проведена из точки B в некую точку D, лежащую на стороне AC. Получится два прямоугольных треугольника: ∆ABD и ∆BCD. У ∆ABD сторона AB — гипотенуза, а AD — катет. У ∆BCD сторона BC — гипотенуза, а CD — катет.

Гипотенуза всегда больше катета. Значит сумма двух гипотенуз всегда будет больше суммы двух катетов:

AB + BC > AD + CD

Но отрезки AD и CD составляют отрезок AC, а это значит, что

AB + BC > AC или
AC < AB + BC

Таким образом было доказано, что сумма двух сторон треугольника больше третьей. Аналогично доказывается что AB < BC + AC, BC < AB + AC. В этом случае высоты проводятся на стороны AB и BC.