Косинусы прямоугольных треугольников

Понятие косинуса применимо к острым углам прямоугольного треугольника. Косинус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение катета, который прилежит к данному углу, к гипотенузе. Например, если дан треугольник ABC, где угол C прямой, а AB — гипотенуза, то косинусом угла A будет отношение AC к AB, косинусом угла B будет отношение BC к AB. Косинус обозначается словом cos. Таким образом, cos A = AC/AB, cos B = BC/AB. В общем случае говорят о косинусе угла α; обозначается как cos α.

Поскольку гипотенуза всегда больше любого катета прямоугольного треугольника, то косинус острого угла всегда меньше единицы.

Существует закономерность, что если острые углы разных прямоугольных треугольников равны, то и косинусы этих углов равны. Это значит, что если у прямоугольных треугольников разные длины катетов и гипотенуз, но равные острые углы, то равными будут и косинусы этих углов, то есть отношения катетов к гипотенузам будут одинаковы. Например, если даны два прямоугольных треугольника ABC и DEF, у которых углы C и F — прямые, а ∠A = ∠D, то cos A = cos D или AC/AB = DF/DE.

Доказательство равенства косинусов углов

Чтобы это доказать, рассмотрим отношение длин гипотенуз прямоугольных треугольников ABC и DEF. Пусть гипотенуза AB меньше гипотенузы DE и это отношение выражается неким числом a,a1a2...an:

DE/AB = a,a1a2...an

То есть в результате деления длин гипотенуз получили десятичную дробь. Ее целая часть означает какое количество раз отрезок AB полностью укладывается в отрезке DE. Наличие чисел после запятой, говорит, что остается часть отрезка DE, в которую AB полностью не укладывается. Однако в него укладывается a1 десятых частей AB, a2 сотых частей и т. д. Например, если DE = 10 см, а AB = 3,2 см, то DE/AB = 10/ 3,2 = 3,125. Таким образом, отрезок DE мы можем разбить на три отрезка по 3 см, плюс один отрезок по 0,1 см, плюс два отрезка по 0,01 см и плюс пять отрезков по 0,001 см.

От гипотенузы DE мы можем провести перпендикуляры к катету DF. Эти перпендикуляры разобьют DF на отрезки, которые не будут равны соответствующим им отрезкам на DE. Однако везде сохранится одно и тоже отношение. И все отрезки равные на DE будут иметь соответствующие им равные между собой отрезки на DF. Это следует из теоремы Фалеса.

Треугольник, образованный первым перпендикуляром к DF, равен треугольнику ABC (по гипотенузе и острому углу). Значит, их прилежащие к рассматриваемым острым углам катеты равны. И следовательно катет AC укладывается на стороне DF такое же число раз, как отношение DE к AB. Получаем DE/AB = DF/AC.

Изменим это равенство так, чтобы элементы одного треугольника были с одной стороны от знака равенства. Получим:

AC/AB = DF/DE

То есть отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению катета к гипотенузе другого (при условии, что их соответствующие острые углы равны). Что и требовалось доказать: при равенстве острых углов их косинусы равны.