Противоположные стороны равны

Определение параллелограмма гласит, что это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны друг другу.

Однако для определения четырехугольника как параллелограмма достаточно, если противоположные стороны фигуры просто равны. Параллельность следует из этого, что можно доказать.

То есть, если у четырехугольника противоположные стороны равны, то он параллелограмм. Докажем это.

Пусть дан четырехугольник ABCD, у которого AB = CD и BC = AD. Если это выпуклый четырехугольник, то любая его диагональ делит его на два треугольника. Если это невыпуклый четырехугольник, то на два треугольника он делится только одной диагональю. Другая его так не делит.

Пусть четырехугольник ABCD делится диагональю AC на треугольники ABC и ADC. Эти треугольники будут равны по трем сторонам: AC — общая сторона, AB = CD, BC = AD. Следовательно, будут равны и их соответствующие углы.

Углу BAC треугольника ABC соответствует угол ACD треугольника ADC. Значит, ∠BAC = ∠ACD. Эти углы являются накрест лежащими при прямой AC, пересекающей прямые AB и CD. Но накрест лежащие углы при секущей могут быть равными, только если она пересекает параллельные прямые. Таким образом оказывается, что AB || CD.

В то же время прямая AC также является секущей для прямых BC и AD. В этом случае образованные накрест лежащие углы также равны. Значит, BC || AD.

Если бы четырехугольник ABCD был разделен на два треугольника диагональю BD, то рассматривались бы треугольники ABD и CBD. Они равны по тому же третьему признаку равенства треугольников, что и треугольники, образованные диагональю AC.

В этих треугольниках рассматриваются накрест лежащие углы при вершинах B и D треугольников. Они также оказываются равными, и, следовательно, противоположные стороны четырехугольника являются параллельными.

Таким образом, из равенства противоположных сторон четырехугольника следует их параллельность, и такой четырехугольник является параллелограммом.