Окружности правильного многоугольника

Около любого правильного многоугольника можно как описать окружность, так и вписать в него окружность. Это будут две разные окружности. Описанная будет иметь больший радиус, а вписанная меньший. Однако их центры будут совпадать. Этот центр называется центром правильного многоугольника.

При этом у правильного многоугольника может быть только одна вписанная окружность и только одна описанная.

На описанной окружности лежат все вершины многоугольника, а для вписанной окружности все стороны многоугольника являются касательными. На рисунке показан равносторонний треугольник и равносторонний семиугольник. Оба они правильные многоугольники. Показаны их вписанные и описанные окружности. Радиус описанной окружности равен расстоянию от центра многоугольника до любой его вершины. Радиус вписанной окружности перпендикулярному любой стороне многоугольника.

Вписанный и описанный правильные треугольник и семиугольник

Доказательство теорем о вписанной и описанной окружностях правильного многоугольника, утверждающих, что у него всегда есть обе такие окружности, причем каждая из них только одна, в общем сводится к следующему.

1. Строятся биссектрисы двух соседних углов правильного многоугольника. Биссектрисы пересекутся в одной точке, т. к. не могут быть параллельными (у углов одна сторона общая, и они не развернутые).

2. Рассматривается треугольник, образованный двумя биссектрисами и одной стороной многоугольника. Он оказывается равнобедренным.

3. Проводится отрезок из третьего угла, соседнего для любого из первых двух. Доказывается, что второй треугольник равен первому (по двум сторонам и углу между ними). Делается вывод, что проведенных отрезок также лежит на биссектрисе третьего угла.

4. Вывод обобщается на все углы многоугольника. Получается, что биссектрисы всех углов правильного многоугольника пересекаются в одной точке и равноудалены от нее.

5. Если эту точку взять как центр окружности, а за радиус окружности взять расстояние от нее до любой вершины многоугольника, то полученная таким образом окружность пройдет по всем вершинам правильного многоугольника.

6. Для доказательства наличия вписанной окружности в треугольниках, образованных биссектрисами многоугольника, проводят высоты к их основаниям. Высоты оказываются равными друг другу (т. к. равны сами треугольники).

7. Если через основания высот провести окружность с центром в точке пересечения биссектрис углов многоугольника, то эта окружность окажется вписанной. Ведь каждая сторона многоугольника окажется касательной к окружности, т. к. перпендикулярна радиусу.

8. Вывод о единственности как вписанной, так и описанной окружности следует из предположения о наличии других таких окружностей. Оказывается, что их центры и радиусы совпадают с ранее рассмотренными.

Более подробно доказательства приводятся здесь: Вписанный правильный многоугольник, Описанный правильный многоугольник.

С помощью описанной окружности по данному правильному многоугольнику можно построить другой правильный многоугольник, у которого будет в два раза больше сторон, чем у первого. Для этого сначала проводят биссектрисы углов данного многоугольника. Потом, взяв точку пересечения биссектрис за центр окружности, чертят описанную окружность. После этого строят биссектрисы углов при точке, являющейся центром окружности. Эти биссектрисы пересекут окружность в «промежуточных» вершинах нового многоугольника.