Доказать основное тригонометрическое тождество

Основным тригонометрическим тождеством является следующее равенство:

sin2 α + cos2 α = 1

Это значит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же острого угла равна единице.

Докажем это тригонометрическое тождество. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90º). Проведем в нем высоту CH к гипотенузе.

Косинусы углов

Выразим катеты треугольника ABC по косинусам углов. Так как cos A = AC/AB, то

AC = AB · cos A

Так как cos B = BC/AB, то

BC = AB · cos B

Теперь рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный, т. к. CH ⊥ AB. АС в этом треугольнике является гипотенузой. Тогда cos A = AH/AC. Выразим отсюда отрезок AH:

AH = AC · cos A

Подставим вместо отрезка AC его значение, выраженное ранее через косинус угла A треугольника ABC. Получим:

AH = (AB · cos A) · cos A = AB · cos2 A

Теперь рассмотрим треугольник BCH. В нем cos B = BH/BC. Выразим BH и заменим BC его значением, найденным в треугольнике ABC:

BH = AB · cos2 B

Отрезок AB является суммой отрезков AH и BH:

AH + BH = AB

Заменим AH и BH на их выражения через косинусы углов:

AB · cos2 A + AB · cos2 B = AB
AB · (cos2 A + cos2 B) = AB
cos2 A + cos2 B = 1

Как известно, синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла этого же треугольника. В данном случае:

sin A = cos B

Следовательно, в тождестве cos2 A + cos2 B = 1 мы можем косинус угла B заменить на синус угла A. Таким образом получим:

cos2 A + cos2 B = 1
cos2 A + (cos B · cos B) = 1
cos2 A + (sin A · sin A) = 1
cos2 A + sin2 A = 1

Таким образом, сумма квадрата косинуса угла и квадрата синуса этого угла равна единицы, что и требовалось доказать.