Что называется четырехугольником

Четырехугольник — это многоугольник, у которого четыре стороны и, соответственно, четыре вершины.

Как и все многоугольники, четырехугольник представляет собой замкнутую простую ломаную. Такая ломаная ограничивает внутреннюю область образованного ей многоугольника. Как известно, ломаная — это фигура, состоящая из последовательно соединенных своими концами отрезков, при этом соседние (смежные) отрезки не лежат на одной прямой. Ломаная замкнута, когда ее первый и последний отрезки соединены между собой свободными концами. Ломаная простая, если никакой ее отрезок не имеет общих точек с несмежным отрезком (т.е не пересекает его).

Также как многоугольники, четырехугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми. У выпуклых многоугольников если любую сторону продлить до прямой, то весь многоугольник окажется по одну сторону от нее. У невыпуклых есть стороны лежащие на прямой, которая делит многоугольник на две части.

Невыпуклый и выпуклый четырехугольники

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник, а справа — выпуклый. Если стороны AB или BC первого четырехугольника продлить до прямых, то полученные прямые разделят плоскость на две части, в каждой из которых будет находиться часть четырехугольника. На рисунке показана такая прямая a, проходящая по стороне BC.

Диагоналями многоугольника называют отрезки соединяющие несмежные (несоседние) вершины. В четырехугольнике у каждой вершины есть две смежные и одна несмежная. Таким образом, существует две пары несмежных вершин. Несмежные вершины четырехугольника называют противоположными. Противоположными сторонами четырехугольника называют несмежные стороны.

Поскольку пар противоположных вершин в четырехугольнике две, то в нем можно провести только две диагонали. При этом у невыпуклого четырехугольника они не будут пересекаться, а у выпуклого будут.

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, а невыпуклого — нет. Каждая диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два треугольника. А пересекаясь, диагонали делят его на четыре треугольника. У невыпуклого четырехугольника одна диагональ делит его на два треугольника, а вторая — нет, т. к. она проходит за пределами внутренней области четырехугольника.

Известно, что каждый треугольник можно вписать в окружность и каждый треугольник можно описать около окружности. С четырехугольниками это не так. Вписать и описать четырехугольник можно лишь, если он обладает определенными признаками. При этом четырехугольник всегда должен быть выпуклым.

Выпуклый четырехугольник можно описать около окружности, если суммы его противоположных сторон равны. Например, на рисунке выше для правого четырехугольника, если AB + CD = BC + DA, то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Если это не так, то нельзя.

Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма его противоположных углов составляет 180º. В этом случае сумма второй пары противоположных углов также будет равна 180º, т. к. сумма всех углов четырехугольника равна 360º (это следует из того, что четырехугольник состоит из двух треугольников, а сумма углов каждого треугольника составляет 180º). Например, на рисунке выше для правого четырехугольника, если ∠A + ∠C = 180º или ∠B + ∠D = 180º, то его можно вписать в окружность.