Описанный правильный многоугольник

Выпуклый прямоугольник является правильным, если все его стороны равны между собой и все его углы равны между собой. Многоугольник считается описанным около окружности тогда, когда все его стороны являются касательными к этой окружности.

Существует теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник. Согласно ей любой правильный многоугольник можно описать около окружности, причем только одной.

Описанные правильные многоугольники

Докажем эту теорему. Пусть дан правильный шестиугольник ABCDEF. Проведем в нем биссектрисы углов A и B. Они не могут быть параллельными, поэтому пересекутся в некой точке. Назовем ее O.

Доказательство теоремы о вписанной в многоугольник окружности

Рассмотрим треугольник ABO. У него углы при стороне AB равны, так как углы A и B шестиугольника равны, а AO и BO биссектрисы этих углов. Значит, треугольник ABO равнобедренный. Тогда стороны AO и BO равны между собой, как боковые стороны равнобедренного треугольника.

Соединим вершину C шестиугольника с точкой O. Сравним треугольники ABO и BCO. У них стороны AB и BC равны как стороны правильного многоугольника. Сторона BO общая. Угол ABO равен углу CBO, так как BO биссектриса угла B. Следовательно, ∆ABO = ∆BCO по двум сторонам и углу между ними. Тогда ∆BCO также равнобедренный (BO = CO), а CO является биссектрисой угла С шестиугольника.

Если соединить остальные вершины многоугольника с точкой O, то точно также можно доказать, что образованные треугольники CDO, DEO и т. д. также являются равными треугольнику ABO и между собой и равнобедренные. А все отрезки от вершин многоугольника до точки O лежат на биссектрисах их углов.

Проведем высоты к основаниям полученных равнобедренных треугольников: H1, H2 и т. д. Они будут равны между собой, так как проведены в равных треугольниках.

Если начертить окружность с центром в точке O и радиусом равным OH1, то она пройдет по точкам H2, H3 и т. д., так как OH1 = OH2 = …, т. е. все эти отрезки являются радиусами.

Поскольку отрезки OH1, OH2 и т. д. перпендикулярны сторонам многоугольника и в то же время являются радиусами окружности, то это значит, что стороны многоугольника касательные к этой окружности. В свою очередь это значит, что многоугольник описан около окружности.

Однако только одну ли окружность можно вписать в многоугольник? Центр окружности, которую можно вписать в многоугольник, должен быть равноудален от его сторон. Единственной такой точкой является точка O. Радиус вписанной окружности должен быть равен расстоянию от этой точки до сторон многоугольника. Это длина OH1. Таким образом, других вписанных окружностей быть не может.