Вписанный правильный многоугольник

Правильные многоугольники — это выпуклые многоугольники, у которых все стороны равны, а также равны все его углы. Количество сторон и соответственно количество углов может быть любым (но больше двух). Так равносторонний треугольник и квадрат являются правильными многоугольниками. Далее идут пятиугольник, шестиугольник и т. д.

Правильные многоугольники

Существует теорема о том, что любой правильный многоугольник можно вписать в окружность, причем только в одну.

Вписанные правильные многоугольники

Доказать эту теорему можно следующим образом. Пусть дан правильный шестиугольник ABCDEF. Проведем сначала биссектрисы углов A и B. Биссектрисы пересекутся в некой точке O.

Доказательство теоремы о вписанном правильном многоугольнике

Рассмотрим треугольник ABO. Так как AO и BO — биссектрисы, а углы A и B равны по условию (в правильных многоугольниках углы равны), то угол ABO составляет половину угла B, угол BAO равен ½ угла A, и эти углы равны между собой: ∠ABO = ∠BAO = ½∠B = ½∠A.

Получается, что в треугольнике ABO углы при стороне AB равны, значит, этот треугольник равнобедренный, а AB — его основание. Тогда стороны AO и BO — боковые стороны равнобедренного треугольника, а значит, равны между собой: AO = BO.

Соединим вершину C шестиугольника с точкой O. Утверждать, что прямая CO является биссектрисой угла C, мы не можем. Однако рассмотрим треугольники ABO и BCO. У них сторона BO общая, стороны AB и BC равны между собой по условию (как стороны правильного многоугольника), углы ABO и CBO также равны, т. к. BO биссектриса угла B. Следовательно, данные треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников ABO и BCO следует, что сторона AO = CO. Но она равна же и BO. Получается, что AO = BO = CO. Кроме того, CO — биссектриса.
Аналогично доказывается, что DO, EO, FO равны AO и другим отрезкам от вершин многоугольника до точки O.

Получается, что все вершины данного шестиугольника находятся на одном и том же расстоянии от точки O. Если взять эту точку за центр окружности, а радиус окружности установить равным длине отрезка AO, то такая окружность пройдет по всем вершинам шестиугольника.

Если доказывать эту теорему не на шестиугольнике, а на любом правильном многоугольнике A1A2A3...An, то получится то же самое. Таким образом, любой правильный многоугольник можно вписать в окружность.

Известно, что около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Если рассмотреть треугольник ABC в данном шестиугольнике, то окажется, что он вписан в окружность O. Следовательно, если нет других описанных окружностей для него, то их нет и для шестиугольника. Таким образом, факт того, что около правильного многоугольника можно описать только одну окружность тоже считается доказанным.