Синусы прямоугольных треугольников

Понятие синуса, также как и косинуса, применимо к острым углам прямоугольных треугольников. Синус острого угла прямоугольного треугольника — это отношение катета, который противолежит этому углу, к гипотенузе. (В случае с косинусом это было отношение прилежащего катета к гипотенузе.) Синус обозначается словом sin. В общем случае говорят о синусе угла альфа, или просто синусе альфа; обозначается как sin α.

Поскольку катет всегда меньше гипотенузы, то синус острого угла, также как и косинус, всегда меньше единицы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

AB — гипотенуза, AC и BC — катеты

Синус угла A равен отношению BC к AB. Но этому же отношению равен косинус угла B. Таким образом, косинус и синус разных острых углов прямоугольного треугольника равны друг другу:

sin A = cos B = BC/AB
sin B = cos A = AC/AB

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов составляет 90º, то есть ∠A + ∠B = 90º. Мы можем выразить угол B через A: ∠B = 90º – ∠A. Подставим это выражение вместо угла B:

sin A = cos (90º – A)
cos A = sin (90º – A)

Эти формулы показывают, что синус и косинус одного и того же угла связаны между собой. Так как косинусы равных углов разных прямоугольных треугольников равны, то это же касается и их синусов: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Например, если косинус угла A одного треугольника равен косинусу угла D другого треугольника, то соответственно синусы других острых углов будут выражаться одинаково: как синусы разности 90º и известного угла.

Обычно говорят о синусе острого угла, а не о синусе углов прямоугольного треугольника, т. к. неважна длина сторон треугольника, важна только величина угла.