Пересечение высот треугольника

Существует теорема о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Пусть дан треугольник ABC, в нем проведены высоты AH, BI, CJ. Следует доказать, что три высоты пересекаются в одной некой точке O.

Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам, которым вершины противоположны. Эти прямые пересекутся (так как между собой они параллельными быть не могут), образуя другой треугольник. Обозначим его как DEF. Пусть AB || FE, BC || DF, AC || DE.

Доказательство теоремы о пересечении высот треугольника

Так как прямые AH, BI, CJ перпендикулярны сторонам треугольника ABC, то они будут перпендикулярны и прямым, параллельных сторонам данного треугольника. То есть AH ⊥ DF, BI ⊥ DE, CJ ⊥ FE.

Рассмотрим четырехугольник ABEC. У него AB || EC, так как EC это отрезок, лежащий на прямой FE, а FE || AB по построению. Аналогично AC || BE. То есть противоположные стороны рассматриваемого четырехугольника параллельны. Это значит, что он параллелограмм, так как его определяет именно параллельность противоположных сторон.

Теперь рассмотрим четырехугольник ADBC. У него AD || BC и AC || DB. Значит, он тоже параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является равенство его противоположных сторон. Из параллелограмма ABEC заключаем, что AC = BE. Из параллелограмма ADBC заключаем, что AC = DB. Следовательно, AC = BE = DB, то есть BE = DB. Таким образом, сторона DE разбита на два равных отрезка прямой BI.

Прямая BI перпендикулярна стороне DE и делит ее пополам, значит, BI является срединным перпендикуляром к DE.

Аналогично доказывается, что AH срединный перпендикуляр к DF, а CJ - к FE. (В первом случае рассматриваются четырехугольники ABCF и ADBC, во втором — ABCF и ABEC.)

Как известно, срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. (Доказывается это так. Два срединных перпендикуляра обязательно пересекутся в одной точке. Пусть это будут в данном случае CO и AO. Любая точка на срединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Значит, ∆FOE — равнобедренный, т. е. FO = OE. Однако ∆DOF также равнобедренный и FO = OD. Значит, FO = OE = OD. Точка O равноудалена от всех вершин треугольника. Тогда она лежит и на третьем перпендикуляре, а значит, он проходи через эту точку.)

Срединными перпендикулярами ∆DEF являются отрезки AH, BI, CJ. Однако они в то же время являются высотами треугольника ABC. Значит, высоты треугольника пересекаются в одной точке.