Углы подобных треугольников
У подобных фигур могут быть разные размеры, но всегда одинаковая форма. В случае треугольников они являются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. То есть все три отношения соответствующих сторон треугольника равны одному и тому же числу.
Например, если даны треугольники ABC и DEF, у которых AB/DE = BC/EF = CA/FD, то эти треугольники подобны.
Число, которому равно отношение сторон, называется коэффициентом подобия (k). Таким образом, можно записать отношения сторон подобных треугольников так:
AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD
Подобие треугольников обозначается так: ∆ABC ~ ∆DEF.
Понятно, что все равные треугольники также являются и подобными. В этом случае коэффициент подобия равен единице.
У подобных треугольниках соответственно равны все три угла. То есть, если ∆ABC ~ ∆DEF, то ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F. Этот факт формулируется в виде теоремы: если даны два подобных треугольника, то углы одного будут соответственно равны углам другого.
Доказать эту теорему можно через теорему косинусов. Пусть даны два подобных треугольника ABC и DEF, у которых AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD.
Теорема косинусов утверждает, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон, умноженному на косинус угла между ними. В данном случае, по отношению к стороне AB получим равенство:
AB2 = BC2 + CA2 – 2BC · CA · cos C
Так как AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD, то мы можем заменить в выражении теоремы косинусов стороны треугольника ABC соответствующими произведениями коэффициента подобия на стороны треугольника DEF:
(kDE)2 = (kEF)2 + (kFD)2 – 2kEF · kFD · cos C
k2 · DE2 = k2 · (EF2 + FD2 – 2EF · FD · cos C)
DE2 = EF2 + FD2 – 2EF · FD · cos C
В полученном равенстве у нас присутствует угол C из треугольника ABC. Однако если бы мы применили теорему косинусов к треугольнику DEF, то получили бы такое равенство:
DE2 = EF2 + FD2 – 2EF · FD · cos F
Отсюда следует, что косинусы углов C и F равны друг другу. Но если равны косинусы углов, то значит, равны и сами углы.
Аналогично через теорему косинусов доказывается, что ∠A = ∠D и ∠B = ∠E.