Два треугольника подобны, если …

Существует множество случаев подобия треугольников. В курсе геометрии рассматриваются и доказываются лишь некоторые из них. Ниже перечислен более обширный список признаков подобия треугольников.

Два треугольника подобны, если три угла одного соответственно равны трем углам другого. Действительно, легко доказывается, что соответственные стороны таких треугольников пропорциональны.

Однако для подобия треугольников достаточно двух равны углов, так как если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то равны и их третьи углы (ведь сумма углов треугольника всегда равна 180º).

Два треугольника подобны, если они имеют по равному углу, который заключается между пропорциональными сторонами. Например, в треугольниках ABC и DEF равны углы A и D, а сторона AB так относится к DE как AC относится к DF (AB/DE = AC/DF). Значит, эти треугольники будут подобными.

Очевидно, что треугольники подобны, когда все стороны одного пропорциональны сторонам другого (AB/DE = BC/EF = AC/DF).

Два треугольника подобны, если стороны одного параллельны сторонам другого. Данный случай не всегда очевиден, так как стороны треугольника могут быть обращены в одну сторону, а могут быть обращены в разные стороны. В первом случае легко доказывается, что углы треугольников оказываются соответственными при параллельных прямых, а значит равны.

Более сложный случай подобия. Один треугольник подобен другому, если его стороны перпендикулярны сторонам другого треугольника.

Подобие прямоугольных треугольников:

Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по одному равному острому углу. Действительно, в этом случае будут равны и вторые острые углы. Третьи же углы равны как прямые.

Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты и гипотенуза одного пропорциональны катету и гипотенузе другого.