Доказать чему равна площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине от произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Сторону, к которой проведена высота, принято в таком случае называть основанием. Таким образом, можно сказать, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Если обозначить длину стороны-основания треугольника как a, высоту — как h, то получится формула площади треугольника:

S = ½ ah

Чтобы доказать эту формулу, следует рассмотреть все варианты расположения высоты в треугольнике. Их всего три. Это:

1. Высота совпадает с одной из сторон треугольника. В этом случае мы имеем дело с прямоугольным треугольником, в котором за основание взят один из катетов. Высотой же, проведенной к этому катету, является другой катет.
2. Высота находится внутри треугольника. В этом случае она пересекается с основанием и делит его на два отрезка. При этом данный треугольник делится на два прямоугольных треугольника.
3. Высота проходит за пределами треугольника. В таком случае она пересекается не с самим основанием, а с его продолжением (прямой, на которой лежит основание).

Рассмотрим первый случай. Пусть дан треугольник ABC. В нем к основанию AC длиной a проведена высота h, которая совпала со стороной BC:

Как известно площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Если бы у нас был прямоугольник со сторонами, длины которых a и h, то его площадь была бы равна ah. Если в прямоугольнике провести диагональ, то она разбивает его на два равных прямоугольных треугольника (у них соответственно равны все три стороны). Площади этих треугольников также равны между собой и каждая составляет ½ от площади всего прямоугольника. Таким образом доказано, что площадь треугольника в данном случае будет равна ½ah.

Рассмотрим второй случай. Пусть в нем высота BH длиной h пересекает сторону AC длиной a.

В этом случае мы получаем два прямоугольных треугольника: ABH и CBH. Из рассмотренного первого случая мы знаем, что их площади равны соответственно ½ · AH · h и ½ · CH · h.

Площадь же всего треугольника ABC представляет собой сумму этих двух площадей:

S = ½ · AH · h + ½ · CH · h

Вынесем за скобку общие множители:

S = ½ · h · (AH + CH)

Но ведь AH и CH в сумме составляют длину a. Таким образом, приходим к формуле, которую требовалось доказать:

S = ½ · h · a

Теперь рассмотрим третий случай, когда высота находится за пределами треугольника:

Здесь мы тоже можем увидеть два прямоугольных треугольника. Это ∆ABH и ∆CBH. Причем первый включает в себя второй. Искомый же треугольник ABC является дополнением к треугольнику CBH до треугольника ABH. Таким образом мы можем записать, что площадь ∆ABH равна сумме площадей ∆CBH и ∆ABC:

S_∆ABH = S_∆CBH + S_∆ABC

Откуда находим площадь искомого треугольника ABC:

S_∆ABC = S_∆ABH – S_∆CBH

Площадь треугольника ABH равна ½ · AH · h, площадь треугольника CBH равна ½ · CH · h:

S_∆ABC = ½ · AH · h – ½ · CH · h

Выносим общие множители за скобку:

S_∆ABC = ½ · h · (AH – CH)

Но ведь если из отрезка AH вычесть отрезок CH, то получится отрезок AC, длина которого равна a. Следовательно, мы можем записать, что и в этом случае площадь треугольника равна также ½ ah.