Обязательный минимум содержания основных образовательных программ по стандарту основного общего образования по математике

АРИФМЕТИКА

Натуральные числа

Десятичная система счисления. Римская нумерация. Арифметические действия над натуральными числами. Степень с натуральным показателем.
Определение степени с натуральным показателем (7 кл.)
Натуральные степени некоторых чисел (7 кл.)
Какие свойства у натуральных чисел? (8 кл.)

Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Деление с остатком.
Что такое наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное? (8 кл.)
Алгоритм Евклида нахождения НОД (8 кл.)
Свойства простых чисел (8 кл.)
Докажите, что множество простых чисел бесконечно (8 кл.)
Что такое каноническое разложение числа и где оно используется? (8 кл.)
Сформулируйте и докажите основной закон арифметики натуральных чисел (8 кл.)
Сформулируйте признаки делимости натуральных чисел (8 кл.)
Какие числа взаимно простые? Каковы свойства взаимно простых чисел? (8 кл.)

Дроби

Обыкновенная дробь. Основное свойство дроби. Сравнение дробей. Арифметические действия с обыкновенными дробями. Нахождение части от целого и целого по его части.

Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.

Рациональные числа

Целые числа: положительные, отрицательные и нуль. Модуль (абсолютная величина) числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с рациональными числами. Степень с целым показателем.

Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный.

Действительные числа

Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Понятие о корне n-ой степени из числа. Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора. Запись корней с помощью степени с дробным показателем.

Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа. Десятичные приближения иррациональных чисел.
Что значит иррациональное число? (8 кл.)
Приближение по недостатку и по избытку (8 кл.)
Погрешность приближения (8 кл.)

Действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Сравнение действительных чисел, арифметические действия над ними.
Доказать, что нет рационального числа, квадрат которого равен 2 (8 кл.)
Что такое длина периода дроби? (8 кл.)
Доказательства свойств модуля (8 кл.)
Перевод периодических дробей в обыкновенные (8 кл.)
Уравнение прямой, проходящей через заданные точки (8 кл.)
Как сравнивать действительные числа (8 кл.)
Найти модуль с корнем (8 кл.)

Этапы развития представления о числе.

Текстовые задачи

Решение текстовых задач арифметическим способом.

Измерения, приближения, оценки

Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире.

Представление зависимости между величинами в виде формул.

Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту.

Отношение, выражение отношения в процентах. Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости.

Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя – степени десяти в записи числа.

АЛГЕБРА

Алгебраические выражения

Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Равенство буквенных выражений. Тождество, доказательство тождеств. Преобразования выражений.
Что такое числовое и алгебраическое выражение? (7 кл.)
Для чего буквы в алгебре? (7 кл.)
Математическое моделирование и его этапы (7 кл.)
Что собой представляет математический язык? (7 кл.)
Что такое тождественное преобразование? (8 кл.)

Свойства степеней с целым показателем. Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности. Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов. Разложение многочлена на множители. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена.
Свойства степеней с одинаковыми основаниями (7 кл.)
Свойства степеней с одинаковыми показателями (7 кл.)
Почему число в степени 0 равно 1? (7 кл.)
Что такое стандартный вид одночлена? (7 кл.)
Что такое подобные одночлены? (7 кл.)
Что такое наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух одночленов? (8 кл.)
Что такое стандартный вид многочлена? (8 кл.)
Как умножить многочлен на одночлен? (8 кл.)
Как вынести общий множитель за скобки? (8 кл.)
Правило умножения суммы на сумму (8 кл.)
Квадрат суммы и квадрат разности (8 кл.)
Как выделить полный квадрат из трехчлена? (8 кл.)
Куб суммы и куб разности (8 кл.)
Как разложить на множители сумму и разность кубов? (8 кл.)
Квадрат суммы нескольких слагаемых (8 кл.)
Что такое симметрические многочлены? (8 кл.)
Значение отрицательной степени (8 кл.)

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями.
Каково основное свойство алгебраической дроби? (8 кл.)
Правило умножения алгебраических дробей (8 кл.)
Правило сложения алгебраических дробей (8 кл.)
Общий знаменатель для алгебраических дробей (8 кл.)
Методы доказательства тождества (8 кл.)
Рациональные числа - это периодические дроби (8 кл.)

Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.
Пример решения рационального уравнения (8 кл.)

Уравнения и неравенства

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители.
Как решать линейное уравнение с одной переменной? (7 кл.)
Решение уравнений с переменной в знаменателе (8 кл.)
Виды неполных квадратных уравнений (8 кл.)

Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Система уравнений; решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими переменными. Примеры решения нелинейных систем. Примеры решения уравнений в целых числах.
Как построить график линейного уравнения с двумя переменными? (7 кл.)
Что такое система линейных уравнений с двумя переменными? (7 кл.)
Метод подстановки при решении системы линейных уравнений (7 кл.)
Решить систему уравнений методом алгебраического сложения (7 кл.)
Решение задач с помощью системы линейных уравнений (7 кл.)

Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства. Примеры решения дробно-линейных неравенств.
Пример решения линейных неравенств (8 кл.)
Правила решения неравенств (8 кл.)
Методы решения квадратных неравенств (8 кл.)

Числовые неравенства и их свойства. Доказательство числовых и алгебраических неравенств.
Оценить число в неравенствах (8 кл.)
Доказательство неравенства Коши (8 кл.)

Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Числовые последовательности

Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий.

Сложные проценты.

Числовые функции

Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций.

Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.
Преобразовать линейное уравнение к линейной функции (7 кл.)
Найти точку пересечения графиков линейных функций (7 кл.)
Свойства параболы (7 кл.)
Как графически решить уравнение? (7 кл.)
Что такое функция обратно пропорциональной зависимости? (8 кл.)
Какой график у обратной пропорциональности? (8 кл.)
Как построить график кусочной функции (8 кл.)
Функция выпукла вниз или вверх (8 кл.)
Графически решить уравнение с корнем (8 кл.)
Как зависит парабола от коэффициента (8 кл.)
Сдвиги графиков функций (8 кл.)
Формула вершины параболы (8 кл.)

Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост. Числовые функции, описывающие эти процессы.

Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей.

Координаты

Изображение чисел точками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч. Формула расстояния между точками координатной прямой.
Виды числовых промежутков (7 кл)

Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале координат и в любой заданной точке.
Как определить координаты точки на плоскости или точку по координатам? (7 кл)
Что такое угловой коэффициент линейной функции? (7 кл)

Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.

ГЕОМЕТРИЯ

Начальные понятия и теоремы геометрии

Возникновение геометрии из практики.
Что изучает геометрия? (7 кл)

Геометрические фигуры и тела. Равенство в геометрии.
Какие геометрические фигуры простейшие? (7 кл)
Что такое внешняя и внутренняя области угла? (7 кл)
Сравнение геометрических фигур (7 кл)
Какие фигуры называются равными (7 кл)

Точка, прямая и плоскость.

Понятие о геометрическом месте точек.

Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная.

Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства.
Как пользоваться транспортиром (5 кл)
Докажите, что вертикальные углы равны (7 кл)
Доказательства свойства биссектрисы угла (7 кл)

Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярность прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой.
Существование перпендикуляра к прямой (7 кл)
Доказать, что перпендикуляр меньше наклонной (7 кл)
Что такое срединный перпендикуляр к отрезку? (7 кл)
Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны (8 кл)
Если накрест лежащие углы при секущей равны, то прямые параллельны (8 кл)
Точки параллельной прямой равноудалены (8 кл)
Углы с соответственными сторонами (8 кл)

Многоугольники.
Что называется многоугольником (8 кл)

Окружность и круг.

Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Примеры сечений. Примеры разверток.

Треугольник

Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника.
Доказать, что высота равнобедренного треугольника является биссектрисой и медианой (7 кл)
Доказать, что гипотенуза больше катета (7 кл)

Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Зависимость между величинам сторон и углов треугольника.
Доказательство третьего признака равенства треугольников (7 кл)
Доказательство неравенства треугольника (7 кл)
Соотношение между сторонами и углами треугольника (7 кл)

Теорема Фалеса. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.
Углы подобных треугольников (8 кл)
Доказательство признаков подобия треугольников (8 кл)
Два треугольника подобны, если … (8 кл)

Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника.
Какие признаки равенства прямоугольных треугольников? (7 кл)
Косинусы прямоугольных треугольников (8 кл)
Синусы прямоугольных треугольников (8 кл)
Доказать основное тригонометрическое тождество (8 кл)

Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан. Окружность Эйлера.
Пересечение биссектрис треугольника (8 кл)
Пересечение медиан треугольника (8 кл)
Пересечение высот треугольника (8 кл)

Четырехугольник

Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция.
Что называется четырехугольником (8 кл)
Описанный четырехугольник (8 кл)
Вписанный четырехугольник (8 кл)
Теоремы параллелограмма (8 кл)
Две стороны равны и параллельны (8 кл)
Противоположные стороны равны (8 кл)
Диагонали делятся пополам (8 кл)
Если один угол прямой, то это прямоугольник (8 кл)
Прямоугольник - это параллелограмм с равными диагоналями (8 кл)
Свойство ромба (8 кл)
Диагонали перпендикулярны (8 кл)
Диагональ делит угол пополам (8 кл)
Виды трапеций (8 кл)

Многоугольники

Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники.
Вписанный правильный многоугольник (8 кл)
Описанный правильный многоугольник (8 кл)
Окружности правильного многоугольника (8 кл)

Окружность и круг

Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности; равенство касательных, проведенных из одной точки. Метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд.
Чему равен угол между касательной и хордой? (7 кл.)
Чему равен вписанный в окружность угол? (7 кл.)
В треугольник можно вписать окружность (8 кл.)
Вокруг треугольника можно описать окружность (8 кл.)

Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные четырехугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.

Измерение геометрических величин

Длина отрезка. Длина ломаной, периметр многоугольника.

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности, число π; длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности.
Что такое градусная мера угла? (7 кл)

Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры.

Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона. Площадь четырехугольника.
Доказать чему равна площадь треугольника (9 кл)
Доказать чему равна площадь параллелограмма (9 кл)
Доказать чему равна площадь трапеции (9 кл)

Площадь круга и площадь сектора.

Связь между площадями подобных фигур.

Объем тела. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса.

Векторы

Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение. Угол между векторами.

Геометрические преобразования

Примеры движений фигур. Симметрия фигур. Осевая симметрия и параллельный перенос. Поворот и центральная симметрия. Понятие о гомотетии. Подобие фигур.
Симметричные фигуры (8 кл.)

Построения с помощью циркуля и линейки

Основные задачи на построение: деление отрезка пополам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных частей.
Как построить треугольник по трем сторонам? (7 кл)
Как построить угол, равный данному? (7 кл)
Как построить биссектрису угла? (7 кл)
Как найти середину отрезка? (7 кл)
Как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету? (7 кл)
Как построить касательную? (7 кл)

Правильные многогранники.
Грань, ребро, вершина (9 кл)

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКИ, СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Доказательство

Определения, доказательства, аксиомы и теоремы; следствия. Необходимые и достаточные условия. Контрпример. Доказательство от противного. Прямая и обратная теоремы.
Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии. Пятый постулат Эвклида и его история.

Множества и комбинаторика

Множество. Элемент множества, подмножество. Объединение и пересечение множеств. Диаграммы Эйлера.
Что такое множество? (8 кл)
Что такое характеристическое свойство множества? (8 кл)
Что такое подмножество? (8 кл)
Что такое пересечение, объединение и разность множеств? (8 кл)
Что такое декартово произведение множеств? (8 кл)
Что такое отношение порядка? (8 кл)
Что такое эквивалентные множества? (8 кл)
Определение числовых множеств (8 кл)
Свойства элементов множества (8 кл)
Что такое замкнутое множество? (8 кл)
Что такое ограниченные множества? (8 кл)
Что такое счетные множества? (8 кл)

Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

Статистические данные

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Средние результатов измерений. Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Понятие и примеры случайных событий.

Вероятность

Частота события, вероятность. Равновозможные события и подсчет их вероятности. Представление о геометрической вероятности.