Дроби

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Как известно, множество рациональных чисел (Q) включает в себя множества целых чисел (Z), которое в свою очередь включает множество натуральных чисел (N). Помимо целых чисел в рациональные числа входят дроби.

Почему же тогда все множество рациональных чисел рассматривают иногда как бесконечные десятичные периодические дроби? Ведь кроме дробей, они включают и целые числа, а также непериодические дроби.

Дело в том, что все целые числа, а также любую дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. То есть для всех рациональных чисел можно использовать одинаковый способ записи.

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Уравнение f(x) = 0 называют рациональным, если f(x) является рациональным выражением. При решении рациональных уравнений, содержащих дроби и многочлены, требуется уметь их правильно преобразовывать. Приведя рациональное дробное уравнение к одной дроби, находят корни числителя (приравняв его к нулю), после чего проверяют корни на то, что они не обращают в нуль знаменатель.

Пусть дано такое рациональное уравнение:

Пример рационального уравнения

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Доказательство тождества представляет собой установления факта равенства его левой и правой частей (при допустимых значениях переменных). Существуют несколько методов доказательства тождества:

  • Преобразуют левую часть так, чтобы получить правую. Или, наоборот, преобразуют правую часть к левой.
  • Преобразуют обе части и получают в обоих случаях одинаковые выражения.
  • Вычитают из левой части правую (или из правой левую). В результате преобразований должен получиться ноль.

Выбор оптимального способа (метода) доказательства зависит от тождества.

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

При сложении и вычитании алгебраический дробей с разными знаменателями сначала дроби приводят к общему знаменателю. Это значит, находят такой один знаменатель, который делится на исходный знаменатель каждой алгебраической дроби, входящей в состав данного выражения.

Как известно, если числитель и знаменатель дроби умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменится. Это является основным свойством дроби. Поэтому, когда дроби приводят к общему знаменателю, по-сути умножают исходный знаменатель каждой дроби на недостающий множитель до общего знаменателя. При этом надо умножить на этот множитель и числитель дроби (для каждой дроби он свой).

Тема: Действительные числа
8 класс

Пусть x – это искомая обыкновенная дробь для периодической десятичной дроби 0,(83), т. е.

x = 0,(83) или
x = 0,83(83)

Длина периода дроби равна двум. Умножим обе части уравнения на 100, чтобы период дроби был представлен и целым числом также:

100x = 83,(83) или
100x = 83 + 0,(83)

Поскольку x = 0,(83), то можно записать

100x = 83 + x

Решим данное уравнение:

100x – x = 83
99x = 83
x = 83/99

Таким образом периодическая дробь 0,(83) в десятичном представлении имеет значение 83/99.

Если дробь является смешанной, например, 0,91(6), то алгоритм перевода ее в десятичную дробь немного иной.

Тема: Действительные числа
8 класс

Рассмотрим обыкновенные дроби 2/3, 11/13 и 3/101. Если попытаться получить из них десятичные дроби, то мы не получим однозначного числа, можно получить лишь приближение. Получаются бесконечные десятичные дроби: 0.666..., 0.846153846153..., 0.02970297....

Можно заметить, что у этих чисел повторяются последние цифры или группы цифр. Так у первой дроби – это 6, у второй — группа цифр 846153, а у третьей – группа 0297. Поэтому такие дроби называются периодическими и записываются так: 0.(6), 0.(846153), 0.(0297).

Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом. А вот количество цифр в периоде как раз и называют длиной периода. Так в примерах выше длина периода дробей составляет 1, 6 и 4.

Тема: Уравнения и неравенства
8 класс

Существуют несколько путей (способов) решения уравнений с переменной в знаменателе дроби.

Один из способов заключается в том, что в левую часть переносятся все члены уравнения, с правой остается 0. Далее все члены уравнения приводятся к общему знаменателю. Дробь может равняться нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, надо решить уравнение, в котором есть только числитель, дроби приравненный к нулю. Вычислив таким образом корни уравнения, надо подставить их в знаменатель и проверить, не обращают ли они его в нуль. Те корни числителя, которые не обращают в нуль знаменатель, являются корнями исходного уравнения.

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатели оставить без изменений:

a/b + c/b = (a+c) / b, где b ≠ 0.

Это можно доказать. Если a/b = p, с/b = q, то a = pb, c = qb.

a + c = pb + qb = b(p+q)
a + c = b(p+q)
(a + c) / b = p + q.

Но p + q в то же время равно a/b + c/b. Значит:

(a + c) / b = a/b + c/b.

Сложнее дело обстоит, когда надо сложить две алгебраические дроби с разными знаменателями. Как известно из арифметики, в таком случае надо привести дроби к общему знаменателю, который по-сути является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей двух дробей.

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

При умножении двух дробей получается новая дробь, числитель которой равен произведению числителей данных двух дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей.

Это правило записывают так:

a/b * с/d = ac/bd, где b ≠ 0 и d ≠ 0.

Отсюда следует, что произведение двух дробей можно заменить одной дробью.

Доказать это правило можно следующим образом:

Пусть a/b = p, c/d = q. Избавимся от деления:

a = pb и c = qd

Если перемножить левые и правые части этих выражений, то равенство сохранится:

ac = pbqd или ac = bd * pq

Отсюда pq = ac/bd, но ранее было взято, что p = a/b и q = c/d. Следовательно, a/b * c/d = ac/bd.

Тема: Алгебраические выражения
8 класс

Основное свойство дроби формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то значение дроби не изменяется.

Данное утверждение можно записать так:

a/b = ac/bc, где b ≠ 0 и с ≠ 0.

Данное свойство является следствием того, что если левую и правую части равенства умножить на одно и то же число, то равенство все равно останется верным. Пусть, например, a/b = k. Избавимся от деления:

a = bk

Теперь умножим обе части на c:

ac = bkc

Выразим k:

k = ac/bc

Но до этого мы приняли, что a/b = k. Значит ac/bc = k также. Основное свойство дроби доказано.

Основное свойство дроби используется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю.

Подписаться на Дроби