Графики функций

Тема: Числовые функции
8 класс

Обычно формулу координаты x вершины параболы используют, когда имеют дело с квадратичной функцией.

Квадратичная функция имеет вид: y = ax2 + bx + c.

Ее график — это парабола с вершиной, координаты которой определяются по формулам:

Формулы вершины параболы квадратичной функции

Однако формулу координаты y знать и использовать не обязательно. Обычно проще подставить найденное значение x в саму квадратичную функцию и найти оттуда y.

Например, если дана функция y = 2x2 – 4x + 5, то координата x ее вершины будет равна:

x = –(–4 / (2 × 2)) = 1

Тема: Числовые функции
8 класс

Нам известны такие функции и их графики как

  • y = kx (прямая),
  • y = kx2 (парабола),
  • y = k√x («половинка» параболы),
  • y = k/x (гипербола).

Изменение значения k влияет на вид графика (степень крутизны в случае параболы), расположение ветвей в координатных четвертях и др. Однако точкой, через которую можно провести ось симметрии графиков, является точка O с координатами (0; 0).

Если же рассматривать функций, подобные перечисленным выше, у которых к переменной x или ко всей исходной функции прибавляется (или вычитается) какое-либо число, то графики этих функций остаются такими же как у исходных, однако смещаются относительно точки (0; 0).

Тема: Числовые функции
8 класс

Графиком функции y = x2 является парабола. Данная функция является функцией вида y = kx2, в которой k = 1. Однако какими будут графики функций такого вида при других значениях k?

Графиками всех функций вида y = kx2 также будут являться параболы, но измененные по сравнению с y = x2. При k > 0 чем больше его значение, тем больше значение функции при том же аргументе. Например, при x = 2 функция y = x2 принимает значение y = 4, в то время как значение функции y = 3x2 равно 12, а функции y = 0.5x2 равно 2.

Тема: Числовые функции
8 класс

Допустим дано такое уравнение:
√x – 0.5x = 0

Требуется решить его графическим способом.

Графический метод решения уравнений заключается в приравнивании двух выражений (частей уравнения), рисования графиков этих выражений-функций на координатной плоскости, нахождения точек пересечения графиков двух функций.

В данном случае преобразуем уравнение к такому виду:
√x = 0.5x

Получаются две функции, чьи графики следует изобразить на координатной плоскости:
f(x) = √x
g(x) = 0.5x

Первый график — это ветвь параболы, вытянутая вдоль оси x. Второй график — прямая.

решение уравнения с квадратным корнем графическим способом

Тема: Числовые функции
8 класс

Если взять две такие функции как 1) y = √x и 2) y = x2 при x ≥ 0, то описание их свойств совпадет, несмотря на то, что их графики отличаются. Вот их графики:

Графики функций y = √x и y = x^2

Обе функции имеют одну и ту же область определения [0; +∞], обе возрастающие (с увеличением x увеличивается и y), непрерывные и др.

Если не видеть графики этих функций, то получается, что они одинаковы. Однако это не так. Поэтому математики ввели дополнительную характеристику функций — их выпуклость.

Тема: Числовые функции
8 класс

Кусочные функции — это функции, заданные разными формулами на разных числовых промежутках. Например,

Пример кусочной функции

Такая запись обозначает, что значение функции вычисляется по формуле √x, когда x больше или равен нулю. Когда же x меньше нуля, то значение функции определяется по формуле –x2. Например, если x = 4, то f(x) = 2, т. к. в данном случае используется формула извлечения корня. Если же x = –4, то f(x) = –16, т. к. в этом случае используется формула –x2 (сначала возводим в квадрат, потом учитываем минус).

Тема: Числовые функции
7 класс

Иногда уравнения решают графическим способом. Для этого надо преобразовать уравнение так (если оно уже не представлено в преобразованном виде), чтобы слева и справа от знака равенства стояли выражения, для которых легко можно нарисовать графики функций. Например, дано такое уравнение:
x² – 2x – 1 = 0

Если мы еще не изучали решение квадратных уравнений алгебраическим способом, то можем попробовать сделать это либо разложением на множители, либо графически. Чтобы решить подобное уравнение графически, представим его в таком виде:
x² = 2x + 1

Из такого представления уравнения следует, что требуется найти такие значения x, при которых левая часть будет равна правой.

Тема: Числовые функции
7 класс

Графиком функции y = x2 и ряда других является парабола. Для функции y = x2 выглядит она так:

Парабола

Тема: Числовые функции
7 класс

Если даны две линейные функции вида y = kx + m, то их графики (прямые) могут вообще не пересекаться, если параллельны друг другу. Во всех остальных случаях они будут пересекаться в одной точке.

Тема: Координаты
7 класс

Линейная функция y = kx + m, когда m = 0 принимает вид y = kx. В таком случае можно заметить, что:

  1. Если x = 0, то и y = 0. Следовательно, график линейной функции y = kx проходит через начало координат не зависимо от значения k.
  2. Если x = 1, то y = k.

Рассмотрим различные значения k, и как от этого меняется y.

Тема: Числовые функции
7 класс

Построить график линейного уравнения ax + by + c = 0 можно проще, если предварительно выразить y через x. В общем виде это выглядит так:
by = –ax – c
y = –ax/b – c/b или y = –a/b × x – c/b.

Далее вводят обозначения для –a/b и –с/b:
–a/b = k
–с/b = m

В результате получают уравнение:
y = kx + m

Тема: Уравнения и неравенства
7 класс

Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид ax + by + c = 0, где a, b и c – это коэффициенты, а x и y – переменные.

Тема: Действительные числа
8 класс

Если даны конкретные точки, например, A(4; 10) и B(1; 2), то уравнение можно найти, решая систему уравнений.

Если A и B имеют различные первые координаты (абсциссы), то прямая, на которой лежат эти точки, не параллельна оси ординат и описывается уравнением y = kx + b. Далее составляют систему уравнений и решают ее. Например:

| 10 = 4k + b,
| 2 = k + b.

b = 2 – k
10 = 4k + 2 – k
8 = 3k
k = 8/3

b = 2 – 8/3 = –2/3

и уравнение прямой имеет вид уравнение прямой.

Тема: Числовые функции
8 класс

Графиком функции обратной пропорциональности вида y = k/x является гипербола. Что же она из себя представляет?

Пусть у нас будет функция y = 1/x. Посмотрим, как меняется значение y при изменении x:

x = -1000, y = -1/1000
x = -1, y = -1
x = -0,001, y = -1000
x = 0,001, y = 1000
x = 1, y = 1
x = 1000, y = 1/1000

Чем больше абсолютное значение x, тем меньше абсолютное значение y. Но при этом y никогда не станет равен 0, так как x не может быть равен нулю.

То есть график имеет две ветви, и концы каждой уходят в бесконечность, приближаясь с одной стороны к оси x, а с другой к оси y, но так никогда и не пересекающие ее.

Говорят, что при положительном значении x, график приближается к оси x.

Подписаться на Графики функций